Страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:

1) $x^{14} = 5-a$;

2) $x^{16} = a^2 - 10a + 16$?

1) Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = b$, где показатель степени $2n = 14$ является четным числом, а правая часть $b = 5 - a$. Количество действительных корней такого уравнения зависит от знака правой части.

• Если правая часть положительна ($5 - a > 0$), то уравнение имеет два действительных корня. Решим неравенство: $5 - a > 0 \implies a < 5$. При $a < 5$ уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[14]{5-a}$ и $x_2 = -\sqrt[14]{5-a}$.
• Если правая часть равна нулю ($5 - a = 0$), то уравнение имеет один действительный корень. Решим уравнение: $5 - a = 0 \implies a = 5$. При $a = 5$ уравнение принимает вид $x^{14} = 0$, и его единственный корень $x = 0$.
• Если правая часть отрицательна ($5 - a < 0$), то уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Решим неравенство: $5 - a < 0 \implies a > 5$. При $a > 5$ у уравнения нет действительных корней.

Ответ: если $a < 5$, то уравнение имеет 2 корня; если $a = 5$, то 1 корень; если $a > 5$, то корней нет.

2) Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = b$, где показатель степени $2n = 16$ является четным числом, а правая часть $b = a^2 - 10a + 16$. Количество действительных корней зависит от знака правой части, то есть от знака квадратного трехчлена $a^2 - 10a + 16$. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 10a + 16 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 8$. Графиком функции $y = a^2 - 10a + 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $a=2$ и $a=8$.

• Если правая часть положительна ($a^2 - 10a + 16 > 0$), то уравнение имеет два действительных корня. Неравенство $(a-2)(a-8) > 0$ выполняется при $a < 2$ или $a > 8$. Следовательно, при $a \in (-\infty; 2) \cup (8; +\infty)$ уравнение имеет два корня.
• Если правая часть равна нулю ($a^2 - 10a + 16 = 0$), то уравнение имеет один действительный корень. Это происходит при $a = 2$ или $a = 8$. В этих случаях уравнение принимает вид $x^{16} = 0$, и его единственный корень $x = 0$.
• Если правая часть отрицательна ($a^2 - 10a + 16 < 0$), то уравнение не имеет действительных корней. Неравенство $(a-2)(a-8) < 0$ выполняется при $2 < a < 8$. Следовательно, при $a \in (2; 8)$ у уравнения нет действительных корней.

Ответ: если $a \in (-\infty; 2) \cup (8; +\infty)$, то 2 корня; если $a=2$ или $a=8$, то 1 корень; если $a \in (2; 8)$, то корней нет.

58. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-6) > f(2)$;

2) $f(-6) > f(-2)$;

3) $f(-6) < f(2)$;

4) $f(-6) < f(-2)$?

Для решения задачи проанализируем свойства степенной функции $y = x^n$ ($f(x) = x^n$) в зависимости от чётности натурального показателя $n$.

• Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $f(x) = x^n$ является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$. Её значения неотрицательны. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
• Если $n$ — нечётное натуральное число, то функция $f(x) = x^n$ является нечётной, то есть $f(-x) = -f(x)$. Функция возрастает на всей числовой оси.

1) f(-6) > f(2)

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n > 2^n$.
- Если $n$ — чётное, то $(-6)^n = 6^n$. Неравенство принимает вид $6^n > 2^n$. Так как $6 > 2$ и $n \in \mathbb{N}$, это неравенство верно.
- Если $n$ — нечётное, то $(-6)^n = -6^n$. Неравенство принимает вид $-6^n > 2^n$. Это неверно, так как слева стоит отрицательное число, а справа — положительное.
Следовательно, $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

2) f(-6) > f(-2)

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n > (-2)^n$.
- Если $n$ — чётное, функция $f(x) = x^n$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$. Поскольку $-6 < -2$, то по свойству убывающей функции $f(-6) > f(-2)$. Это соответствует условию. Алгебраически: $(-6)^n = 6^n$ и $(-2)^n = 2^n$. Неравенство $6^n > 2^n$ является верным.
- Если $n$ — нечётное, функция $f(x) = x^n$ возрастает на всей числовой прямой. Поскольку $-6 < -2$, то должно выполняться $f(-6) < f(-2)$. Это противоречит условию. Алгебраически: $(-6)^n = -6^n$ и $(-2)^n = -2^n$. Неравенство $-6^n > -2^n$ эквивалентно $6^n < 2^n$, что неверно.
Следовательно, $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

3) f(-6) < f(2)

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n < 2^n$.
- Если $n$ — чётное, то $(-6)^n = 6^n$. Неравенство принимает вид $6^n < 2^n$. Это неверно, так как $6 > 2$.
- Если $n$ — нечётное, то $(-6)^n = -6^n$. Неравенство принимает вид $-6^n < 2^n$. Это верно, так как левая часть отрицательна, а правая — положительна.
Следовательно, $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

4) f(-6) < f(-2)?

Подставим значения в неравенство: $(-6)^n < (-2)^n$.
- Если $n$ — чётное, функция $f(x) = x^n$ убывает на $(-\infty, 0)$. Так как $-6 < -2$, должно выполняться $f(-6) > f(-2)$. Это противоречит условию. Алгебраически: $6^n < 2^n$, что неверно.
- Если $n$ — нечётное, функция $f(x) = x^n$ возрастает. Так как $-6 < -2$, то $f(-6) < f(-2)$. Это соответствует условию. Алгебраически: $-6^n < -2^n$, что эквивалентно $6^n > 2^n$, и это верно.
Следовательно, $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

59. Проходит ли график функции $y = x^{-5}$ через точку:

1) A $(-1; 5)$;

2) B $(2; \frac{1}{32})$;

3) C $(-3; -243)$;

4) D $(\frac{1}{3}; 243)$?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^{-5}$ через заданную точку, необходимо подставить координаты точки (x, y) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка лежит на графике, в противном случае — нет.

Функцию можно также записать в виде $y = \frac{1}{x^5}$.

Подставим координаты точки A($x=-1$, $y=5$) в уравнение функции:

$5 = (-1)^{-5}$

Вычислим правую часть равенства:

$(-1)^{-5} = \frac{1}{(-1)^5} = \frac{1}{-1} = -1$

Получаем неверное равенство: $5 = -1$.

Следовательно, график функции не проходит через точку A.

Ответ: не проходит.

Подставим координаты точки B($x=2$, $y=\frac{1}{32}$) в уравнение функции:

$\frac{1}{32} = 2^{-5}$

Вычислим правую часть равенства:

$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

Получаем верное равенство: $\frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: проходит.

Подставим координаты точки C($x=-3$, $y=-243$) в уравнение функции:

$-243 = (-3)^{-5}$

Вычислим правую часть равенства:

$(-3)^{-5} = \frac{1}{(-3)^5} = \frac{1}{-243} = -\frac{1}{243}$

Получаем неверное равенство: $-243 = -\frac{1}{243}$.

Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: не проходит.

Подставим координаты точки D($x=\frac{1}{3}$, $y=243$) в уравнение функции:

$243 = (\frac{1}{3})^{-5}$

Вычислим правую часть равенства:

$(\frac{1}{3})^{-5} = (3^{-1})^{-5} = 3^{(-1) \cdot (-5)} = 3^5 = 243$

Получаем верное равенство: $243 = 243$.

Следовательно, график функции проходит через точку D.

Ответ: проходит.

60. При каком значении $a$ график функции $y = ax^{-2}$ проходит через точку $A\left(\frac{1}{2}; 8\right)$?

Для того чтобы график функции $y = ax^{-2}$ проходил через точку $A(\frac{1}{2}; 8)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это значит, что если мы подставим $x = \frac{1}{2}$ и $y = 8$ в уравнение, мы получим верное равенство, из которого сможем найти значение $a$.

Подставим координаты точки $A$ в уравнение функции:

$8 = a \cdot (\frac{1}{2})^{-2}$

Теперь упростим выражение. Степень с отрицательным показателем равна обратному числу, возведенному в степень с положительным показателем:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^{2} = 2^2 = 4$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$8 = a \cdot 4$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 4:

$a = \frac{8}{4}$

$a = 2$

Следовательно, при $a=2$ график функции проходит через заданную точку.

Ответ: 2

61. Дана функция $f(x) = x^{-15}$. Сравните:

1) $f(20)$ и $f(23)$;

2) $f(-1,6)$ и $f(-1,8)$;

3) $f(-6,4)$ и $f(6,4)$.

Дана функция $f(x) = x^{-15}$. Для того чтобы сравнить значения функции, проанализируем её свойства.

Функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{15}}$.

Свойства функции:

1. Четность/нечетность. Проверим значение функции для $-x$: $f(-x) = (-x)^{-15} = \frac{1}{(-x)^{15}} = \frac{1}{-x^{15}} = - \frac{1}{x^{15}} = -f(x)$. Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-15})' = -15x^{-16} = -\frac{15}{x^{16}}$. Поскольку $x^{16} = (x^8)^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) в области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Теперь, используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(20) и f(23)

Аргументы $20$ и $23$ принадлежат интервалу $(0; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ строго убывает. Так как $20 < 23$, то по определению убывающей функции, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(20) > f(23)$.

Ответ: $f(20) > f(23)$.

2) f(-1,6) и f(-1,8)

Аргументы $-1,8$ и $-1,6$ принадлежат интервалу $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ также строго убывает. Сравним аргументы: $-1,8 < -1,6$. Так как функция убывающая, для меньшего аргумента ($-1,8$) значение функции будет больше, чем для большего аргумента ($-1,6$). Следовательно, $f(-1,8) > f(-1,6)$.

Ответ: $f(-1,6) < f(-1,8)$.

3) f(-6,4) и f(6,4)

Как было установлено ранее, функция $f(x) = x^{-15}$ является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Поэтому $f(-6,4) = -f(6,4)$. Нам нужно сравнить $-f(6,4)$ и $f(6,4)$. Найдем знак $f(6,4)$. $f(6,4) = (6,4)^{-15} = \frac{1}{6,4^{15}}$. Так как $6,4 > 0$, то $6,4^{15} > 0$, и, следовательно, $f(6,4) > 0$. Поскольку $f(6,4)$ - положительное число, то $-f(6,4)$ будет отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $-f(6,4) < f(6,4)$. Следовательно, $f(-6,4) < f(6,4)$.

Ответ: $f(-6,4) < f(6,4)$.

62. Дана функция $f(x) = x^{-26}$. Сравните:

1) $f(-3,9)$ и $f(-2,5)$;

2) $f(0,4)$ и $f(-0,4)$;

3) $f(19)$ и $f(16)$;

4) $f(-26)$ и $f(3)$.

Дана функция $f(x) = x^{-26}$. Для того чтобы сравнить значения функции в различных точках, проанализируем её свойства.
Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{26}}$.
Свойства функции:
1. Четность. Показатель степени $-26$ является четным числом, следовательно, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат.
2. Монотонность.
- На промежутке $(0; +\infty)$ функция $f(x)$ убывает. Это значит, что если $0 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Чем больше положительный аргумент, тем меньше значение функции.
- На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $f(x)$ возрастает. Это значит, что если $x_1 < x_2 < 0$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

1) f(-3,9) и f(-2,5)

Аргументы $-3,9$ и $-2,5$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. На этом промежутке функция $f(x)=x^{-26}$ возрастает.
Так как $-3,9 < -2,5$, то согласно свойству возрастающей функции, $f(-3,9) < f(-2,5)$.
Ответ: $f(-3,9) < f(-2,5)$.

2) f(0,4) и f(-0,4)

Функция $f(x)=x^{-26}$ является четной, поскольку показатель степени $-26$ — четное число.
По определению четной функции, $f(x) = f(-x)$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, $f(0,4) = f(-0,4)$.
Ответ: $f(0,4) = f(-0,4)$.

3) f(19) и f(16)

Аргументы $19$ и $16$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)=x^{-26}$ убывает.
Так как $16 < 19$, то согласно свойству убывающей функции, $f(16) > f(19)$.
Ответ: $f(19) < f(16)$.

4) f(-26) и f(3)

Воспользуемся свойством четности функции: $f(-26) = f(26)$.
Теперь задача сводится к сравнению значений $f(26)$ и $f(3)$.
Оба аргумента, $26$ и $3$, принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает.
Так как $3 < 26$, то $f(3) > f(26)$.
Заменив $f(26)$ на равное ему $f(-26)$, получаем $f(3) > f(-26)$.
Ответ: $f(-26) < f(3)$.

63. Постройте график функции:

1) $y = (x + 3)^0$;

2) $y = (\sqrt{x} - 2)^0$;

3) $y = (x^2 - 4x - 12)^0$.

1)

Дана функция $y = (x+3)^0$.

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. При этом выражение $a^0$ не определено (не имеет смысла), если основание $a=0$.

Следовательно, данная функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю:

$x + 3 \neq 0$

$x \neq -3$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции постоянно и равно 1: $y = 1$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$, из которой исключена ("выколота") точка, в которой функция не определена. Абсцисса этой точки $x=-3$, ордината $y=1$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-3; 1)$.

2)

Дана функция $y = (\sqrt{x}-2)^0$.

Функция определена при одновременном выполнении двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 2 \neq 0$.

Решим второе условие:

$\sqrt{x} \neq 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x \neq 4$

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 4$), получаем область определения функции: $D(y) = [0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1: $y=1$.

Графиком функции является луч $y=1$, начинающийся в точке $(0; 1)$ (эта точка принадлежит графику) и идущий вправо, с выколотой точкой при $x=4$. Координаты выколотой точки — $(4; 1)$.

Ответ: График функции — луч $y=1$, начинающийся в точке $(0; 1)$, с выколотой точкой $(4; 1)$.

3)

Дана функция $y = (x^2 - 4x - 12)^0$.

Функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю:

$x^2 - 4x - 12 \neq 0$

Чтобы найти точки, в которых функция не определена, решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Следовательно, функция не определена в точках $x=-2$ и $x=6$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 6) \cup (6; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1: $y=1$.

Графиком функции является прямая $y=1$, из которой выколоты две точки: с абсциссами $x=-2$ и $x=6$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2; 1)$ и $(6; 1)$.

64. Постройте график функции:

1) $y = x^{-2} - 2$;

2) $y = (x - 2)^{-2}$;

3) $y = 2x^{-3}$.

1) $y = x^2 - 2$

График функции $y = x^2 - 2$ строится на основе графика базовой функции $y = x^2$ (стандартная парабола). Для получения искомого графика необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Ключевые характеристики графика:

• Тип графика: парабола, ветви которой направлены вверх.
• Вершина параболы: $(0, -2)$.
• Ось симметрии: $x = 0$ (ось $Oy$).
• Точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$): $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Для построения графика следует отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2$ — парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вниз.

2) $y = (x - 2)^2$

График функции $y = (x - 2)^2$ также строится на основе параболы $y = x^2$. Для получения искомого графика необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Ключевые характеристики графика:

• Тип графика: парабола, ветви которой направлены вверх.
• Вершина параболы: $(2, 0)$.
• Ось симметрии: прямая $x = 2$.
• Точка пересечения с осью ординат ($Oy$): $y = (0-2)^2 = 4$. Точка: $(0, 4)$.

Составим таблицу значений для построения графика:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — парабола с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вверх, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вправо.

3) $y = 2x^{-3}$

Перепишем функцию в виде $y = \frac{2}{x^3}$. Ее график строится на основе графика функции $y = \frac{1}{x^3}$. Преобразование заключается в вертикальном растяжении графика $y = \frac{1}{x^3}$ в 2 раза вдоль оси ординат ($Oy$).

Ключевые характеристики графика:

• Область определения: $D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная $y=0$ (ось $Ox$).
• Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу значений для построения графика:

График строится по точкам для каждой ветви, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: График функции $y = 2x^{-3}$ — кривая (гиперболического типа), состоящая из двух ветвей в I и III координатных четвертях, симметричных относительно начала координат. Асимптотами являются оси координат.

65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3}$ на промежутке:

1) $\left[\frac{1}{4}; 3\right]$;

2) $[-4; -2]$;

3) $[5; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-3}$ на заданных промежутках, необходимо сначала исследовать ее поведение (монотонность). Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^3}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания:

$y' = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$

Поскольку $x^4$ всегда положительно для любого $x \neq 0$, производная $y' = -\frac{3}{x^4}$ всегда отрицательна на всей области определения. Это означает, что функция $y = x^{-3}$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Это свойство позволяет нам находить наибольшее и наименьшее значения на концах заданных промежутков.

1) Промежуток $[\frac{1}{4}; 3]$

Этот промежуток полностью лежит в области $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой точке промежутка ($x = \frac{1}{4}$), а наименьшее — в правой ($x = 3$).

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{4})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{4})^3} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(3) = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Ответ: наибольшее значение равно 64, наименьшее значение равно $\frac{1}{27}$.

2) Промежуток $[-4; -2]$

Этот промежуток полностью лежит в области $(-\infty; 0)$, где функция также строго убывает. Поэтому наибольшее значение будет в левой точке промежутка ($x = -4$), а наименьшее — в правой ($x = -2$).

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-4) = (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64}$

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Ответ: наибольшее значение равно $-\frac{1}{64}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{8}$.

3) Промежуток $[5; +\infty)$

Этот промежуток лежит в области $(0; +\infty)$, где функция строго убывает. Наибольшее значение достигается в самой левой точке промежутка, то есть при $x=5$.

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(5) = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

Поскольку промежуток неограничен справа, а функция на нем убывает, наименьшего значения она не достигает. При $x \to +\infty$, значение функции $y = \frac{1}{x^3}$ стремится к 0, но никогда не становится равным ему (всегда $y > 0$). Таким образом, у функции есть точная нижняя грань, равная 0, но нет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{125}$, наименьшего значения не существует.