Страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x+2}$;

2) $y = \frac{1}{2-3x}$;

3) $y = \frac{2}{3x+2}-3$.

Для построения графиков данных функций, которые являются гиперболами, определим их асимптоты, точки пересечения с осями координат и несколько дополнительных точек.

Данная функция является дробно-рациональной, ее график — гипербола. Построим его по шагам.

1. Область определения функции.
   Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
   $3x + 2 \neq 0$
   $3x \neq -2$
   $x \neq -\frac{2}{3}$
   Область определения: $D(y) = (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}; +\infty)$.
2. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: прямая $x = -\frac{2}{3}$.
   • Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, значение дроби $\frac{1}{3x+2}$ стремится к нулю, следовательно, $y \to 0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$ (ось Ox).
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при $x=0$):
     $y = \frac{1}{3 \cdot 0 + 2} = \frac{1}{2}$.
     Точка пересечения с Oy: $(0; \frac{1}{2})$.
   • С осью Ox (при $y=0$):
     $\frac{1}{3x+2} = 0$.
     Это уравнение не имеет решений, значит, график не пересекает ось Ox.
4. Дополнительные точки для построения.
   Возьмем несколько значений $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты:
   • при $x=-1$, $y = \frac{1}{3(-1)+2} = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(-1; -1)$.
   • при $x=-2$, $y = \frac{1}{3(-2)+2} = \frac{1}{-4} = -0.25$. Точка $(-2; -0.25)$.
   • при $x=1$, $y = \frac{1}{3(1)+2} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(1; 0.2)$.

График функции — гипербола с асимптотами $x = -\frac{2}{3}$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3x+2}$ — это гипербола, полученная из графика $y=\frac{1}{3x}$ сдвигом влево на $\frac{2}{3}$ единицы. Вертикальная асимптота $x = -\frac{2}{3}$, горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(-1; -1)$, $(0; 0.5)$, $(1; 0.2)$.

Эта функция также является дробно-рациональной, ее график — гипербола.

1. Область определения функции.
   $2 - 3x \neq 0$
   $3x \neq 2$
   $x \neq \frac{2}{3}$
   Область определения: $D(y) = (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.
2. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: прямая $x = \frac{2}{3}$.
   • Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$ (ось Ox).
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при $x=0$):
     $y = \frac{1}{2 - 3 \cdot 0} = \frac{1}{2}$.
     Точка пересечения с Oy: $(0; \frac{1}{2})$.
   • С осью Ox (при $y=0$):
     $\frac{1}{2-3x} = 0$.
     Уравнение не имеет решений, график не пересекает ось Ox.
4. Дополнительные точки для построения.
   • при $x=1$, $y = \frac{1}{2-3(1)} = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
   • при $x=0$, $y = \frac{1}{2}$. Точка $(0; 0.5)$.
   • при $x=-1$, $y = \frac{1}{2-3(-1)} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(-1; 0.2)$.

Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{-(3x-2)} = -\frac{1}{3x-2}$. Это означает, что ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x = \frac{2}{3}$ и $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2-3x}$ — это гипербола. Вертикальная асимптота $x = \frac{2}{3}$, горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(-1; 0.2)$, $(0; 0.5)$, $(1; -1)$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

График этой функции — гипербола, полученная преобразованиями графика функции $y = \frac{2}{3x+2}$.

1. Область определения функции.
   Знаменатель не равен нулю: $3x+2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$.
   Область определения: $D(y) = (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}; +\infty)$.
2. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: прямая $x = -\frac{2}{3}$.
   • Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{2}{3x+2} \to 0$, следовательно, $y \to 0 - 3 = -3$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-3$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при $x=0$):
     $y = \frac{2}{3 \cdot 0 + 2} - 3 = \frac{2}{2} - 3 = 1 - 3 = -2$.
     Точка пересечения с Oy: $(0; -2)$.
   • С осью Ox (при $y=0$):
     $\frac{2}{3x+2} - 3 = 0 \implies \frac{2}{3x+2} = 3 \implies 2 = 3(3x+2) \implies 2 = 9x+6 \implies 9x = -4 \implies x = -\frac{4}{9}$.
     Точка пересечения с Ox: $(-\frac{4}{9}; 0)$.
4. Дополнительные точки для построения.
   • при $x=-1$, $y = \frac{2}{3(-1)+2} - 3 = \frac{2}{-1} - 3 = -2 - 3 = -5$. Точка $(-1; -5)$.
   • при $x=1$, $y = \frac{2}{3(1)+2} - 3 = \frac{2}{5} - 3 = 0.4 - 3 = -2.6$. Точка $(1; -2.6)$.

График данной функции — это график функции $y = \frac{2}{3x+2}$ (аналогичен графику из пункта 1, но растянут в 2 раза вдоль оси Oy), сдвинутый на 3 единицы вниз. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот $x = -\frac{2}{3}$ и $y=-3$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{3x+2}-3$ — это гипербола. Вертикальная асимптота $x = -\frac{2}{3}$, горизонтальная асимптота $y=-3$. График пересекает оси в точках $(-\frac{4}{9}; 0)$ и $(0; -2)$ и проходит через точку $(-1; -5)$.

23. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{6x - 4}$;

2) $y = \sqrt{\frac{1}{6}x + 1}$;

3) $y = \sqrt{1 - 6x}$;

4) $y = \sqrt{4x - 2} - 2$;

5) $y = \frac{1}{4}\sqrt{6 - 3x} - 1$;

6) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} - 2$.

Для построения графиков данных функций, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. Этот график является ветвью параболы, начинающейся в точке (0, 0) и проходящей через точки (1, 1), (4, 2) и т.д.

1) $y = \sqrt{6x - 4}$

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6x - 4 \geq 0 \implies 6x \geq 4 \implies x \geq \frac{4}{6} \implies x \geq \frac{2}{3}$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Область значений. Квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \geq 0$. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Ключевые точки для построения.

• Начальная точка графика: найдем ее, приравняв подкоренное выражение к нулю. Если $x = \frac{2}{3}$, то $y = \sqrt{6 \cdot \frac{2}{3} - 4} = \sqrt{4-4} = 0$. Начальная точка: $(\frac{2}{3}, 0)$.
• Найдем еще несколько точек. Возьмем $x$ так, чтобы под корнем получался квадрат целого числа. Если $6x - 4 = 1$, то $6x=5$, $x=\frac{5}{6}$. Получаем точку $(\frac{5}{6}, 1)$. Если $6x - 4 = 4$, то $6x=8$, $x=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Получаем точку $(\frac{4}{3}, 2)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{6x - 4} = \sqrt{6(x-\frac{2}{3})}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сжатия к оси OY в 6 раз и сдвига вправо на $\frac{2}{3}$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(\frac{2}{3}, 0)$ и идущую вправо и вверх через точки $(\frac{5}{6}, 1)$ и $(\frac{4}{3}, 2)$.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{2}{3}, 0)$, направленная вправо и вверх.

2) $y = \sqrt{\frac{1}{6}x + 1}$

1. Область определения. $\frac{1}{6}x + 1 \geq 0 \implies \frac{1}{6}x \geq -1 \implies x \geq -6$. $D(y) = [-6; +\infty)$.

2. Область значений. $y \geq 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = -6$, то $y = \sqrt{\frac{1}{6}(-6) + 1} = \sqrt{-1+1} = 0$. Точка $(-6, 0)$.
• Если $x=0$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $\frac{1}{6}x + 1 = 4$, то $\frac{1}{6}x = 3$, $x=18$. Точка $(18, 2)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{\frac{1}{6}(x+6)}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ растяжением от оси OY в 6 раз и сдвигом влево на 6. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(-6, 0)$ и идущая вправо и вверх через точки $(0, 1)$ и $(18, 2)$.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-6, 0)$, направленная вправо и вверх.

3) $y = \sqrt{1 - 6x}$

1. Область определения. $1 - 6x \geq 0 \implies 1 \geq 6x \implies x \leq \frac{1}{6}$. $D(y) = (-\infty; \frac{1}{6}]$.

2. Область значений. $y \geq 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = \frac{1}{6}$, то $y = \sqrt{1 - 6 \cdot \frac{1}{6}} = 0$. Точка $(\frac{1}{6}, 0)$.
• Если $x=0$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $1 - 6x = 4$, то $-6x=3$, $x = -\frac{1}{2}$. Точка $(-\frac{1}{2}, 2)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{-6(x-\frac{1}{6})}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ отражением относительно оси OY, сжатием к оси OY в 6 раз и сдвигом вправо на $\frac{1}{6}$. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{6}, 0)$ и идущая влево и вверх через точки $(0, 1)$ и $(-\frac{1}{2}, 2)$.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{1}{6}, 0)$, направленная влево и вверх.

4) $y = \sqrt{4x - 2} - 2$

1. Область определения. $4x - 2 \geq 0 \implies 4x \geq 2 \implies x \geq \frac{1}{2}$. $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{4x - 2} \geq 0$, то $y = \sqrt{4x - 2} - 2 \geq -2$. $E(y) = [-2; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = \frac{1}{2}$, то $y = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 2} - 2 = -2$. Точка $(\frac{1}{2}, -2)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = \sqrt{4x-2} - 2 \implies \sqrt{4x-2} = 2 \implies 4x-2=4 \implies 4x=6 \implies x=\frac{3}{2}$. Точка $(\frac{3}{2}, 0)$.
• Если $4x - 2 = 9$, то $4x=11$, $x=\frac{11}{4}=2.75$. Тогда $y=\sqrt{9}-2=3-2=1$. Точка $(\frac{11}{4}, 1)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{4(x-\frac{1}{2})} - 2$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сжатием к оси OY в 4 раза, сдвигом вправо на $\frac{1}{2}$ и сдвигом вниз на 2. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}, -2)$ и идущая вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{1}{2}, -2)$, направленная вправо и вверх.

5) $y = \frac{1}{4}\sqrt{6 - 3x} - 1$

1. Область определения. $6 - 3x \geq 0 \implies 6 \geq 3x \implies x \leq 2$. $D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{6 - 3x} \geq 0$, то $\frac{1}{4}\sqrt{6-3x} \geq 0$, следовательно $y = \frac{1}{4}\sqrt{6-3x} - 1 \geq -1$. $E(y) = [-1; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = 2$, то $y = \frac{1}{4}\sqrt{6 - 3 \cdot 2} - 1 = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = \frac{1}{4}\sqrt{6} - 1 \approx \frac{2.45}{4} - 1 \approx 0.61 - 1 = -0.39$. Точка $(0, \frac{\sqrt{6}}{4}-1)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = \frac{1}{4}\sqrt{6-3x} - 1 \implies 1 = \frac{1}{4}\sqrt{6-3x} \implies 4 = \sqrt{6-3x} \implies 16 = 6-3x \implies 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$. Точка $(-\frac{10}{3}, 0)$.

4. Построение. График функции $y = \frac{1}{4}\sqrt{-3(x-2)} - 1$ получается из $y=\sqrt{x}$ отражением по OY, сжатием к OY в 3 раза, сжатием к OX в 4 раза, сдвигом вправо на 2 и вниз на 1. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(2, -1)$ и идущая влево и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(2, -1)$, направленная влево и вверх.

6) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} - 2$

1. Область определения. $2x - 5 \geq 0 \implies 2x \geq 5 \implies x \geq \frac{5}{2}$. $D(y) = [\frac{5}{2}; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{2x - 5} \geq 0$, то $-\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} \leq 0$. Следовательно, $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} - 2 \leq -2$. $E(y) = (-\infty; -2]$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = \frac{5}{2} = 2.5$, то $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot \frac{5}{2} - 5} - 2 = -2$. Точка $(\frac{5}{2}, -2)$.
• Возьмем $x=3$: $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 3 - 5} - 2 = -\frac{1}{2}\sqrt{1} - 2 = -0.5 - 2 = -2.5$. Точка $(3, -2.5)$.
• Если $2x-5=4$, то $2x=9$, $x=4.5$. Тогда $y=-\frac{1}{2}\sqrt{4}-2 = -1-2=-3$. Точка $(4.5, -3)$.

4. Построение. График функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2(x-\frac{5}{2})} - 2$ получается из $y = \sqrt{x}$ отражением относительно оси OX, сжатием к оси OY в 2 раза, сжатием к оси OX в 2 раза, сдвигом вправо на $\frac{5}{2}$ и вниз на 2. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{5}{2}, -2)$ и идущая вправо и вниз.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{5}{2}, -2)$, направленная вправо и вниз.

24. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 24, являются обратимыми?

Рис. 24

а

б

в

Функция называется обратимой, если она является взаимно однозначным отображением, то есть каждому значению функции (из области значений) соответствует ровно одно значение аргумента (из области определения). Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной линии: функция обратима, если любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке. Это условие выполняется для строго монотонных функций (строго возрастающих или строго убывающих на всей области определения).

Рассмотрим каждый из представленных графиков:

а. График этой функции не является монотонным на всей области определения. Он состоит из двух частей: на одной функция убывает, на другой — возрастает. Горизонтальная прямая, проведенная выше оси абсцисс (например, прямая $y=k$ при $k>0$), пересечет график в двух точках. Это означает, что разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, следовательно, функция не является взаимно однозначной.
Ответ: не является обратимой.

б. График этой функции является строго убывающим на всей своей области определения. Любая горизонтальная прямая пересекает этот график ровно в одной точке. Это означает, что каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Следовательно, данная функция является взаимно однозначной и обратимой.
Ответ: является обратимой.

в. График этой функции — горизонтальный отрезок. Это означает, что функция является постоянной на отрезке $[-1, 1]$, то есть $y=3$ для всех $x \in [-1, 1]$. Одному значению функции $y=3$ соответствует бесконечно много значений аргумента. Горизонтальная прямая $y=3$ совпадает с графиком функции на всем отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, функция не является взаимно однозначной.
Ответ: не является обратимой.

Таким образом, из представленных функций обратимой является только та, график которой изображен на рисунке б.

25. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = x^2 - 31$;

2) $y = \frac{1}{x^8}$;

3) $y = -7$.

Функция является обратимой, если она является взаимно-однозначной (инъективной), то есть каждому значению из области значений функции соответствует ровно одно значение аргумента из области определения. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $y(x_1) = y(x_2)$.

1) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 31$.
Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y(x_1) = y(-2) = (-2)^2 - 31 = 4 - 31 = -27$.
$y(x_2) = y(2) = 2^2 - 31 = 4 - 31 = -27$.
Таким образом, двум разным значениям аргумента ($x_1 = -2$ и $x_2 = 2$) соответствует одно и то же значение функции ($y = -27$). Следовательно, функция не является взаимно-однозначной и, значит, не является обратимой.
Ответ: Функция не является обратимой, так как разным значениям аргумента, например $x=2$ и $x=-2$, соответствует одно и то же значение функции $y=-27$.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^8}$.
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$).
Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y(x_1) = y(-1) = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1} = 1$.
$y(x_2) = y(1) = \frac{1}{1^8} = \frac{1}{1} = 1$.
Таким образом, двум разным значениям аргумента ($x_1 = -1$ и $x_2 = 1$) соответствует одно и то же значение функции ($y = 1$). Следовательно, функция не является взаимно-однозначной и, значит, не является обратимой.
Ответ: Функция не является обратимой, так как разным значениям аргумента, например $x=1$ и $x=-1$, соответствует одно и то же значение функции $y=1$.

3) Рассмотрим функцию $y = -7$.
Это постоянная функция (константа). Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда равно $-7$.
Возьмем два любых различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
$y(x_1) = y(0) = -7$.
$y(x_2) = y(5) = -7$.
Поскольку любым двум (и более) разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция не является обратимой, так как она является константой и принимает одно и то же значение $-7$ для всех значений аргумента из области определения.

26. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 4x-1$;

2) $y = x^2, x \in [-9; -2)$;

3) $y = x^2, x \in [0; +\infty)$;

4) $y = x^2, x \in [-9; +\infty)$?

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения, то есть либо строго возрастает, либо строго убывает. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений соответствует ровно одно значение $x$ из области определения. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) $y = 4x - 1$

Эта функция является линейной с угловым коэффициентом $k=4$. Поскольку $k > 0$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения (все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$). Для любых $x_1 < x_2$ будет выполняться неравенство $4x_1 - 1 < 4x_2 - 1$. Так как функция строго монотонна, она обратима.

Ответ: функция обратима.

2) $y = x^2, x \in [-9; -2]$

Эта функция является квадратичной (парабола с ветвями вверх), но рассматривается на отрезке $[-9; -2]$. Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $x=0$. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y=x^2$ строго убывает. Поскольку заданный отрезок $[-9; -2]$ полностью лежит внутри этого промежутка, функция на нем строго убывает. Для любых $x_1, x_2$ из $[-9; -2]$ таких, что $x_1 < x_2$, будет выполняться $x_1^2 > x_2^2$. Так как функция строго монотонна на своей области определения, она обратима.

Ответ: функция обратима.

3) $y = x^2, x \in [0; +\infty)$

Эта функция является квадратичной и рассматривается на луче $[0; +\infty)$. На этом промежутке, который является правой ветвью параболы, функция $y=x^2$ строго возрастает. Для любых $x_1, x_2$ из $[0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, будет выполняться $x_1^2 < x_2^2$. Так как функция строго монотонна на своей области определения, она обратима.

Ответ: функция обратима.

4) $y = x^2, x \in [-9; +\infty)$

Область определения этой функции — луч $[-9; +\infty)$. Этот промежуток включает в себя вершину параболы $x=0$. На части этого промежутка, $[-9; 0]$, функция убывает, а на части, $[0; +\infty)$, она возрастает. Поскольку функция не является строго монотонной на всей своей области определения, она не является обратимой. Например, для разных значений аргумента $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$ (оба принадлежат области определения) мы получаем одно и то же значение функции: $y(-3) = (-3)^2 = 9$ и $y(3) = 3^2 = 9$.

Ответ: функция не является обратимой.

27. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x + 2;$

2) $y = \frac{4}{x+3};$

3) $y = \sqrt{x+4} + 2;$

4) $y = x^2, x \in [1; +\infty);$

5) $y = \frac{x}{2-x}.$

Чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. В уравнении $y = f(x)$ выразить $x$ через $y$.
2. В полученном уравнении $x = g(y)$ поменять местами переменные $x$ и $y$.
3. Полученная функция $y = g(x)$ будет обратной к исходной. При этом область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной.

1) $y = 3x + 2$

Выразим $x$ из уравнения:

$3x = y - 2$

$x = \frac{y - 2}{3}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{x - 2}{3}$

Ответ: $y = \frac{x-2}{3}$

2) $y = \frac{4}{x+3}$

Выразим $x$ из уравнения. Область определения исходной функции: $x \neq -3$. Область значений: $y \neq 0$.

$y(x+3) = 4$

$x+3 = \frac{4}{y}$

$x = \frac{4}{y} - 3$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{4}{x} - 3$

Ответ: $y = \frac{4}{x} - 3$

3) $y = \sqrt{x+4} + 2$

Найдем область определения и область значений исходной функции.

Область определения: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$.

Область значений: $\sqrt{x+4} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+4} + 2 \ge 2 \Rightarrow y \ge 2$.

Теперь выразим $x$ из уравнения:

$y - 2 = \sqrt{x+4}$

Возведем обе части в квадрат. Так как $y \ge 2$, то $y-2 \ge 0$, и это преобразование является равносильным.

$(y-2)^2 = x+4$

$x = (y-2)^2 - 4$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = (x-2)^2 - 4$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 2$.

Ответ: $y = (x-2)^2 - 4$ при $x \ge 2$.

4) $y = x^2, x \in [1; +\infty)$

Исходная функция задана на промежутке $x \in [1; +\infty)$.

Найдем область значений на этом промежутке: если $x \ge 1$, то $y = x^2 \ge 1^2=1$. Итак, $y \in [1; +\infty)$.

Выразим $x$ из уравнения:

$x^2 = y$

$x = \pm\sqrt{y}$

Поскольку по условию $x \ge 1$, мы выбираем положительное значение корня:

$x = \sqrt{y}$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 1$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 1$.

5) $y = \frac{x}{2-x}$

Выразим $x$ из уравнения. Область определения исходной функции: $x \neq 2$.

$y(2-x) = x$

$2y - yx = x$

$2y = x + yx$

$2y = x(1+y)$

$x = \frac{2y}{1+y}$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{2x}{1+x}$

Ответ: $y = \frac{2x}{1+x}$