Страница 108 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 21 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-3; 6]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[3,5; 5,5]$;

2) $[-3; 3,5]$;

3) $[-2; 0,5]$

Рис. 21

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[3,5; 5,5]$, рассмотрим соответствующую часть графика. На этом отрезке функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной.
Из графика находим:
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(3,5) = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(5,5) = 3,5$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 3,5.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-3; 3,5]$, необходимо сравнить значения функции на концах этого отрезка и в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов), которые находятся внутри этого отрезка.
Значения на концах отрезка:
$f(-3) = 3$
$f(3,5) = 1$
Значения в точках экстремумов внутри отрезка:
Локальный минимум в точке $x = -1$: $f(-1) = -1$.
Локальный максимум в точке $x = 2$: $f(2) = 2$.
Локальный минимум в точке $x = 3$: $f(3) = 1$.
Сравнивая все полученные значения $\{3, 1, -1, 2, 1\}$, выбираем самое большое и самое маленькое.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 3.

3) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-2; 0,5]$, сравним значения функции на концах этого отрезка и в точках локальных экстремумов, которые находятся внутри него.
Значения на концах отрезка:
$f(-2) = 0$
$f(0,5) = -0,5$
Внутри этого отрезка находится точка локального минимума $x = -1$, в которой значение функции равно $f(-1) = -1$.
Сравнивая значения $\{0, -0,5, -1\}$, выбираем самое большое и самое маленькое.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 0$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 0.

2. Функция $f$ такова, что $f(-6) = -10$. Найдите $f(6)$, если функция $f$ является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной
Функция $f$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. По условию задачи, нам дано значение функции $f(-6) = -10$. Нам нужно найти $f(6)$. Так как функция $f$ является чётной, мы можем использовать её определение. Подставим $x = 6$ в формулу чётной функции: $f(-6) = f(6)$. Поскольку нам известно, что $f(-6) = -10$, мы можем сделать вывод, что: $f(6) = -10$.
Ответ: -10

2) нечётной
Функция $f$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. По условию задачи, нам дано значение функции $f(-6) = -10$. Нам нужно найти $f(6)$. Так как функция $f$ является нечётной, мы можем использовать её определение. Подставим $x = 6$ в формулу нечётной функции: $f(-6) = -f(6)$. Подставим известное значение $f(-6) = -10$ в это равенство: $-10 = -f(6)$. Чтобы найти $f(6)$, умножим обе части уравнения на -1: $f(6) = -(-10)$, $f(6) = 10$.
Ответ: 10

3. Функция $f$ такова, что $f(2)=-3$. Найдите $f(2)+f(-2)$, если функция $f$ является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

По условию задачи нам дано, что $f(2) = -3$.

Поскольку функция $f$ является чётной, то $f(-2) = f(2)$.

Следовательно, $f(-2) = -3$.

Теперь найдём значение искомого выражения $f(2) + f(-2)$:

$f(2) + f(-2) = -3 + (-3) = -6$.

Ответ: -6

2) нечётной

По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

По условию задачи нам дано, что $f(2) = -3$.

Поскольку функция $f$ является нечётной, то $f(-2) = -f(2)$.

Следовательно, $f(-2) = -(-3) = 3$.

Теперь найдём значение искомого выражения $f(2) + f(-2)$:

$f(2) + f(-2) = -3 + 3 = 0$.

Ответ: 0

4. Является ли чётной функция, заданная формулой $y = x^4$, если её область определения — множество:

1) $[-7; 7];$

2) $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty);$

3) $[-8; 8]?$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия:
1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим второе условие для заданной функции $y = x^4$.
$f(-x) = (-x)^4 = x^4$.
Поскольку $f(x) = x^4$, то равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется всегда.
Следовательно, для ответа на вопрос нужно проверить только первое условие: симметричность области определения для каждого случая.

1) Рассматривается область определения $[-7; 7]$.

Данное множество (отрезок) является симметричным относительно нуля. Для любого числа $x$ из этого отрезка, $-7 \le x \le 7$. Если умножить неравенство на -1, получим $7 \ge -x \ge -7$, что равносильно $-7 \le -x \le 7$. Это означает, что $-x$ также принадлежит отрезку $[-7; 7]$.
Так как область определения симметрична, и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: да, является.

2) Рассматривается область определения $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Данное множество симметрично относительно нуля. Если $x$ принадлежит этому множеству, то либо $x \in (-\infty; -2)$, либо $x \in (2; +\infty)$.
Если $x \in (-\infty; -2)$, то $x < -2$, откуда $-x > 2$, то есть $-x \in (2; +\infty)$.
Если $x \in (2; +\infty)$, то $x > 2$, откуда $-x < -2$, то есть $-x \in (-\infty; -2)$.
В обоих случаях, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит. Область определения симметрична.
Так как область определения симметрична, и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: да, является.

3) Рассматривается область определения $[-8; 8)$.

Данное множество (полуинтервал) не является симметричным относительно нуля. Например, число $x = -8$ принадлежит этому множеству, но противоположное ему число $-x = -(-8) = 8$ не принадлежит этому множеству, так как правая граница 8 не включена в интервал.
Поскольку область определения несимметрична, первое условие для чётной функции не выполняется.
Ответ: нет, не является.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -4x - 1$ на промежутке $[-1; 5]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке необходимо проанализировать ее поведение.

Функция $y = -4x - 1$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Угловой коэффициент данной функции $k = -4$.

Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что с увеличением значения аргумента $x$, значение функции $y$ уменьшается.

Следовательно, на отрезке $[-1; 5]$ наибольшее значение функция будет принимать в левой точке отрезка (при наименьшем $x$), а наименьшее значение — в правой точке (при наибольшем $x$).

Наибольшее значение
Вычислим значение функции в точке $x = -1$:
$y_{наиб.} = y(-1) = -4 \cdot (-1) - 1 = 4 - 1 = 3$.
Ответ: 3.

Наименьшее значение
Вычислим значение функции в точке $x = 5$:
$y_{наим.} = y(5) = -4 \cdot 5 - 1 = -20 - 1 = -21$.
Ответ: -21.