Страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2, [-2; 1]$

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1, [0; 6]$

3) $f(x) = x^6 + 2x^4 + 4, [1; 2]$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}, [-1; 3]$

1) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2$ на промежутке $[-2; 1]$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке найдем её производную, критические точки, а затем сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 + \frac{3}{2}x^2)' = 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x = 3x^2 + 3x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 3x = 0$
$3x(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Обе точки принадлежат заданному промежутку $[-2; 1]$.
3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-2) = (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 = -8 + \frac{3}{2} \cdot 4 = -8 + 6 = -2$.
$f(-1) = (-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 = -1 + \frac{3}{2} = 0.5$.
$f(0) = 0^3 + \frac{3}{2}(0)^2 = 0$.
$f(1) = 1^3 + \frac{3}{2}(1)^2 = 1 + \frac{3}{2} = 2.5$.
4. Сравнивая полученные значения ($-2; 0.5; 0; 2.5$), выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $2.5$.
Наименьшее значение: $-2$.
Ответ: наибольшее значение $2.5$, наименьшее значение $-2$.

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1$ на промежутке $[0; 6]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1)' = x^2 + x - 12$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Промежутку $[0; 6]$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 3$.
3. Вычисляем значения функции в этой критической точке и на концах промежутка:
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$.
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 - 12(3) + 1 = 9 + 4.5 - 36 + 1 = -21.5$.
$f(6) = \frac{1}{3}(6)^3 + \frac{1}{2}(6)^2 - 12(6) + 1 = \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 72 + 1 = 72 + 18 - 72 + 1 = 19$.
4. Сравнивая полученные значения ($1; -21.5; 19$), выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $19$.
Наименьшее значение: $-21.5$.
Ответ: наибольшее значение $19$, наименьшее значение $-21.5$.

3) $f(x) = x^6 + 2x^4 + 4$ на промежутке $[1; 2]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^6 + 2x^4 + 4)' = 6x^5 + 8x^3$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$6x^5 + 8x^3 = 0$
$2x^3(3x^2 + 4) = 0$
Единственная критическая точка $x = 0$. Она не принадлежит промежутку $[1; 2]$.
Поскольку на промежутке $[1; 2]$ производная $f'(x) = 6x^5 + 8x^3 > 0$, функция является возрастающей на этом промежутке. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце, а наибольшее — на правом.
3. Вычисляем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = 1^6 + 2(1)^4 + 4 = 1 + 2 + 4 = 7$.
$f(2) = 2^6 + 2(2)^4 + 4 = 64 + 2 \cdot 16 + 4 = 64 + 32 + 4 = 100$.
Наибольшее значение: $100$.
Наименьшее значение: $7$.
Ответ: наибольшее значение $100$, наименьшее значение $7$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}$ на промежутке $[-1; 3]$.
Функция непрерывна на данном промежутке, так как точка разрыва $x=4$ не входит в него.
1. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(x^2 - 3x)'(x - 4) - (x^2 - 3x)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x - 3x + 12 - x^2 + 3x}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$\frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Промежутку $[-1; 3]$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 2$.
3. Вычисляем значения функции в этой критической точке и на концах промежутка:
$f(-1) = \frac{(-1)^2 - 3(-1)}{-1 - 4} = \frac{1 + 3}{-5} = -\frac{4}{5} = -0.8$.
$f(2) = \frac{2^2 - 3(2)}{2 - 4} = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.
$f(3) = \frac{3^2 - 3(3)}{3 - 4} = \frac{9 - 9}{-1} = 0$.
4. Сравнивая полученные значения ($-0.8; 1; 0$), выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $1$.
Наименьшее значение: $-0.8$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-0.8$.

310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + 7}$, $[1; 4]$;

2) $f(x) = (x - 3)^3 (x + 2)^2$, $[-3; 4]$;

3) $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$, $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

311. Представьте число 36 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.

Пусть искомые два положительных числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 36. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 36$

Также известно, что оба числа положительные, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Требуется найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет максимальным.

Для решения этой задачи выразим одну переменную через другую из уравнения суммы. Например, выразим $y$:

$y = 36 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $x$:

$P(x) = x \cdot (36 - x) = 36x - x^2$

Задача сводится к нахождению максимального значения функции $P(x) = -x^2 + 36x$. Эта функция является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1).

Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы. Абсцисса (координата $x$) вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле:

$x_0 = -b / (2a)$

В нашем случае коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 36$. Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -36 / (2 \cdot (-1)) = -36 / (-2) = 18$

При $x = 18$ произведение $P$ достигает своего максимума. Теперь найдем соответствующее значение для $y$:

$y = 36 - x = 36 - 18 = 18$

Таким образом, искомые числа — это 18 и 18. Оба числа положительные, их сумма $18 + 18 = 36$, а их произведение $18 \cdot 18 = 324$ является наибольшим возможным.

Ответ: 18 и 18.

312. Найдите такое положительное число $x$, что разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из этого числа, то есть $x - 2\sqrt{x}$, принимает наименьшее значение.

Пусть искомое положительное число равно $x$. Согласно условию задачи, $x > 0$. Разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из него можно представить в виде функции $f(x)$: $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ Наша задача — найти такое значение $x$, при котором функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения на интервале $(0, +\infty)$.

Для нахождения точки минимума функции воспользуемся методами дифференциального исчисления. Сначала найдем первую производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x - 2\sqrt{x})' = (x - 2x^{1/2})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$ $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$ $1 = \frac{1}{\sqrt{x}}$ Отсюда следует, что $\sqrt{x} = 1$. Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем: $x = 1$

Чтобы определить, является ли $x=1$ точкой минимума, найдем вторую производную функции: $f''(x) = (1 - x^{-1/2})' = -(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$ Теперь вычислим значение второй производной в найденной критической точке $x=1$: $f''(1) = \frac{1}{2\sqrt{1^3}} = \frac{1}{2}$ Поскольку значение второй производной в точке $x=1$ положительно ($f''(1) > 0$), эта точка является точкой минимума. Так как это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале $(0, +\infty)$, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Таким образом, искомое положительное число равно 1.
Ответ: 1

313. Площадь прямоугольника равна 400 см$^2$. Какими должны быть его стороны, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

По условию задачи, площадь равна 400 см², следовательно:

$a \cdot b = 400$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

Чтобы периметр был наименьшим, нужно минимизировать значение выражения $P = 2(a + b)$.

Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу площади. Выразим $b$ через $a$:

$b = \frac{400}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. Таким образом, периметр станет функцией одной переменной $a$:

$P(a) = 2(a + \frac{400}{a})$

Для того чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти точки экстремума (минимума или максимума).

Найдем производную функции $P(a)$:

$P'(a) = (2a + \frac{800}{a})' = 2 - \frac{800}{a^2}$

Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{800}{a^2} = 0$

Решим полученное уравнение:

$2 = \frac{800}{a^2}$

$2a^2 = 800$

$a^2 = 400$

$a = \sqrt{400} = 20$

Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной. Мы нашли критическую точку $a=20$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак производной слева и справа от этой точки. При $a < 20$ (например, $a=10$), $P'(10) = 2 - \frac{800}{100} = -6 < 0$, значит, функция убывает. При $a > 20$ (например, $a=40$), $P'(40) = 2 - \frac{800}{1600} = 1.5 > 0$, значит, функция возрастает. Таким образом, в точке $a=20$ достигается минимум функции периметра.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:

$b = \frac{400}{a} = \frac{400}{20} = 20$

Получилось, что стороны прямоугольника равны, то есть это квадрат со стороной 20 см. Именно при такой форме периметр будет наименьшим для заданной площади.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 20 см и 20 см.

314. В полукруг радиуса $2\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть радиус полукруга $R = 2\sqrt{5}$ см. Впишем прямоугольник в полукруг так, чтобы одна его сторона лежала на диаметре полукруга. Введем систему координат, в которой центр диаметра совпадает с началом координат, а сам диаметр лежит на оси Ox. Тогда дуга полукруга описывается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$ при $y \ge 0$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Пусть сторона $a$ лежит на оси Ox. Тогда ее длина $a = 2x$, где $x$ — абсцисса правой верхней вершины прямоугольника. Высота прямоугольника $b = y$, где $y$ — ордината этой же вершины. Координаты $(x, y)$ этой вершины удовлетворяют уравнению полуокружности, то есть $x^2 + y^2 = R^2$.

Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой $P = 2(a+b) = 2(2x+y) = 4x+2y$.

Из уравнения полуокружности выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (поскольку $y \ge 0$). Подставим это выражение в формулу для периметра, чтобы получить функцию одной переменной $x$:$P(x) = 4x + 2\sqrt{R^2 - x^2}$, где $x \in (0, R)$.

Для нахождения наибольшего значения периметра найдем производную функции $P(x)$ и приравняем ее к нулю:$P'(x) = \frac{d}{dx}(4x + 2\sqrt{R^2 - x^2}) = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$.

Приравняем производную к нулю:$P'(x) = 0 \implies 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = 0$$4 = \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$$2\sqrt{R^2 - x^2} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:$4(R^2 - x^2) = x^2$$4R^2 - 4x^2 = x^2$$5x^2 = 4R^2$$x = \sqrt{\frac{4R^2}{5}} = \frac{2R}{\sqrt{5}}$.

Подставим значение радиуса $R = 2\sqrt{5}$ см:$x = \frac{2 \cdot 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 4$ см.

Теперь найдем высоту прямоугольника $y$:$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a=2x$ и $b=y$:$a = 2 \cdot 4 = 8$ см.$b = 2$ см.

Ответ: 8 см и 2 см.

315. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ на промежутке $[-3; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ на отрезке $[-3; 1]$, необходимо исследовать её на этом отрезке.

Так как в определении функции присутствует модуль, раскроем его. Функция будет иметь разный вид для положительных и отрицательных значений $x$.

1. При $x \in [0; 1]$ (часть заданного промежутка, где $x \ge 0$), имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 4x + 3$.

2. При $x \in [-3; 0)$ (часть заданного промежутка, где $x < 0$), имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:

Для интервала $(0; 1)$:
$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-3; 1]$, поэтому мы её не рассматриваем.

Для интервала $(-3; 0)$:
$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)' = 2x + 4$.
Приравняем производную к нулю: $2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$. Эта точка принадлежит отрезку $[-3; 1]$, следовательно, $x = -2$ является критической точкой.

Точка $x = 0$ также является критической, так как в ней "стыкуются" два разных выражения для функции, и производная в этой точке может не существовать. Проверим односторонние производные в точке $x=0$:
$f'_-(0) = (2x+4)|_{x=0} = 4$
$f'_+(0) = (2x-4)|_{x=0} = -4$
Поскольку $f'_-(0) \neq f'_+(0)$, производная в точке $x=0$ не существует, значит, $x=0$ — критическая точка.

Теперь необходимо вычислить значения функции в найденных критических точках ($x = -2$, $x = 0$) и на концах заданного отрезка ($x = -3$ и $x = 1$).

Вычисляем значения:

1. На левом конце отрезка: $x = -3$
$f(-3) = (-3)^2 - 4|-3| + 3 = 9 - 4 \cdot 3 + 3 = 0$.

2. В критической точке: $x = -2$
$f(-2) = (-2)^2 - 4|-2| + 3 = 4 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$.

3. В критической точке: $x = 0$
$f(0) = 0^2 - 4|0| + 3 = 3$.

4. На правом конце отрезка: $x = 1$
$f(1) = 1^2 - 4|1| + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Мы получили четыре значения: $0, -1, 3, 0$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -1, 3, 0\}$, находим, что максимальное из них равно 3.

Ответ: $3$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -1, 3, 0\}$, находим, что минимальное из них равно -1.

Ответ: $-1$.

316. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 - 3x;$

2) $f(x) = x^4 + 4x^2 - 5;$

3) $f(x) = (x - 3)^2 (x - 1)^2;$

4) $f(x) = \frac{6x}{x^2 + 9};$

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4x + 3};$

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}.$

1) $f(x) = x^3 - 3x$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.
Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3}$, $x_3=-\sqrt{3}$. Точки $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
$\lim_{x \to \pm\infty} (x^3 - 3x) = \pm\infty$. Горизонтальных асимптот нет.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3) = +\infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
Критические точки (где $f'(x)=0$): $x=1$ и $x=-1$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- на $(-\infty, -1)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает;
- на $(-1, 1)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(1, +\infty)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка локального максимума. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$. Точка максимума $(-1, 2)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = 1^3 - 3(1) = -2$. Точка минимума $(1, -2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, где $f''(x)=0$: $6x=0 \Rightarrow x=0$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый.
- При $x \in (0, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый.
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Он проходит через начало координат, имеет симметрию относительно него. Достигает локального максимума в $(-1, 2)$, затем убывает, проходит через точку перегиба $(0,0)$, достигает локального минимума в $(1, -2)$ и снова возрастает. Оси пересекаются в точках $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0,0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$.

Ответ: Функция нечетная, симметрична относительно начала координат. Пересекает оси в точках $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$. Локальный максимум в точке $(-1, 2)$, локальный минимум в точке $(1, -2)$. Точка перегиба в $(0, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ и убывает на $(-1, 1)$. График выпуклый на $(-\infty, 0)$ и вогнутый на $(0, +\infty)$. Асимптот нет.

2) $f(x) = x^4 + 4x^2 - 5$

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)^4 + 4(-x)^2 - 5 = x^4 + 4x^2 - 5 = f(x)$.
Функция является четной. График симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = -5$. Точка $(0, -5)$.
С осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow x^4 + 4x^2 - 5 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2+4t-5=0$, откуда $(t+5)(t-1)=0$. Так как $t=x^2 \ge 0$, подходит только $t=1$. $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$. Точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} (x^4 + 4x^2 - 5) = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Первая производная: $f'(x) = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2)$.
Критическая точка: $f'(x)=0 \Rightarrow 4x(x^2+2)=0 \Rightarrow x=0$.
Исследуем знак производной:
- на $(-\infty, 0)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(0, +\infty)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с $-$ на $+$, это точка локального минимума. $f(0) = -5$. Точка минимума $(0, -5)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная: $f''(x) = (4x^3 + 8x)' = 12x^2 + 8 = 4(3x^2+2)$.
Так как $3x^2+2 > 0$ для всех $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения. График функции всегда вогнутый.

7. Построение графика.
График представляет собой W-образную кривую, симметричную относительно оси Oy. Он убывает из $+\infty$ до точки глобального минимума $(0, -5)$, а затем возрастает до $+\infty$. Пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Весь график вогнутый (выпуклый вниз).

Ответ: Функция четная, симметрична относительно оси Oy. Пересекает оси в точках $(0, -5)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$. Глобальный минимум в точке $(0, -5)$. Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. График всегда вогнутый. Асимптот нет.

3) $f(x) = (x - 3)^2(x - 1)^2$

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(x) = ((x-2)-1)^2((x-2)+1)^2 = ((x-2)^2-1)^2$. Функция симметрична относительно прямой $x=2$. Не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = (-3)^2(-1)^2 = 9$. Точка $(0, 9)$.
С осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow (x-3)^2(x-1)^2 = 0$. Корни $x=1$ и $x=3$ (кратность 2). График касается оси Ox в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Первая производная: $f'(x) = 2(x-3)(x-1)^2 + (x-3)^2 \cdot 2(x-1) = 2(x-3)(x-1)(x-1+x-3) = 4(x-1)(x-2)(x-3)$.
Критические точки: $x=1, x=2, x=3$.
- на $(-\infty, 1)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(1, 2)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает;
- на $(2, 3)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(3, +\infty)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В $x=1$ локальный минимум, $f(1)=0$. Точка $(1, 0)$.
В $x=2$ локальный максимум, $f(2)=(2-3)^2(2-1)^2=1$. Точка $(2, 1)$.
В $x=3$ локальный минимум, $f(3)=0$. Точка $(3, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная: $f'(x) = 4(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$, тогда $f''(x) = 4(3x^2 - 12x + 11)$.
$f''(x)=0 \Rightarrow 3x^2-12x+11=0$. Корни: $x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
- на $(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ $f''(x)>0$, график вогнутый;
- на $(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{3})$ $f''(x)<0$, график выпуклый;
- на $(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. $f(2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. Точки $(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ и $(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$.

Ответ: Область определения $(-\infty, +\infty)$. График симметричен относительно прямой $x=2$. Пересечение с осями: $(0, 9)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$. Локальные минимумы в $(1, 0)$ и $(3, 0)$, локальный максимум в $(2, 1)$. Точки перегиба при $x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, $y = \frac{4}{9}$. Возрастает на $(1, 2) \cup (3, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$.

4) $f(x) = \frac{6x}{x^2 + 9}$

1. Область определения.
Знаменатель $x^2+9 \neq 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{6(-x)}{(-x)^2+9} = -\frac{6x}{x^2+9} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
$x=0 \Rightarrow f(0) = 0$. Пересечение с осями в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x}{x^2+9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6/x}{1+9/x^2} = 0$. $y=0$ - горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = \frac{6(x^2+9) - 6x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{54-6x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{6(9-x^2)}{(x^2+9)^2}$.
Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow 9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm3$.
- на $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ $f'(x)<0$, функция убывает;
- на $(-3, 3)$ $f'(x)>0$, функция возрастает.
В $x=-3$ локальный минимум, $f(-3) = \frac{-18}{18} = -1$. Точка $(-3, -1)$.
В $x=3$ локальный максимум, $f(3) = \frac{18}{18} = 1$. Точка $(3, 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-12x(x^2+9)^2 - (54-6x^2) \cdot 2(x^2+9)(2x)}{(x^2+9)^4} = \frac{12x(x^2-27)}{(x^2+9)^3}$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$.
- на $(-\infty, -3\sqrt{3}) \cup (0, 3\sqrt{3})$ $f''(x)<0$, график выпуклый;
- на $(-3\sqrt{3}, 0) \cup (3\sqrt{3}, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $(0, 0)$, $(\pm3\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Функция нечетная, D(f) - все действительные числа. Горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение осей в $(0, 0)$. Локальный минимум в $(-3, -1)$, максимум в $(3, 1)$. Точки перегиба в $(0, 0)$ и $(\pm3\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2})$. Возрастает на $(-3, 3)$, убывает на $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4x + 3}$

1. Область определения.
$x^2 - 4x + 3 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{x^2+4x+3}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0)=1/3$. Точка $(0, 1/3)$.
С осью Ox: $f(x) \neq 0$. Пересечений нет.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=3$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-4x+3}=0$. $y=0$ - горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = -\frac{2x-4}{(x^2-4x+3)^2} = \frac{4-2x}{(x^2-4x+3)^2}$.
Критическая точка: $f'(x)=0 \Rightarrow 4-2x=0 \Rightarrow x=2$.
- на $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$ $f'(x)>0$, функция возрастает;
- на $(2, 3) \cup (3, +\infty)$ $f'(x)<0$, функция убывает.
В $x=2$ локальный максимум, $f(2) = \frac{1}{4-8+3} = -1$. Точка $(2, -1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{6x^2-24x+26}{(x^2-4x+3)^3}$.
Числитель $6x^2-24x+26 > 0$ для всех $x$ (дискриминант отрицательный). Знак $f''(x)$ зависит от знаменателя $(x-1)^3(x-3)^3$.
- на $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый;
- на $(1, 3)$ $f''(x)<0$, график выпуклый.
Точек перегиба нет.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$. Вертикальные асимптоты $x=1, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Локальный максимум в $(2, -1)$. Возрастает на $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$, убывает на $(2, 3) \cup (3, +\infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ и выпуклый на $(1, 3)$.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$

1. Область определения.
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm1$. $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 1} = -\frac{x}{x^2-1} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
$x=0 \Rightarrow f(0)=0$. Пересечение с осями в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$. $y=0$ - горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = \frac{1(x^2-1) - x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$.
$f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция всегда убывает на каждом из интервалов своей области определения. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2x(x^2-1)^2 - (-x^2-1) \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x=0$.
- на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ $f''(x)<0$, график выпуклый;
- на $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый.
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак. Точка перегиба $(0, 0)$.

Ответ: Функция нечетная, $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm1$, горизонтальная $y=0$. Точек экстремума нет, функция всегда убывает на своей области определения. Точка перегиба $(0, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ и вогнутый на $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.