Номер 310, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + 7}$ на отрезке $[1; 4]$, найдем ее производную, критические точки, а затем сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Область определения функции задается неравенством $-x^2 + 6x + 7 \ge 0$, или $x^2 - 6x - 7 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$. Таким образом, область определения функции — отрезок $[-1; 7]$. Заданный отрезок $[1; 4]$ входит в область определения.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{-x^2 + 6x + 7})' = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x + 7}} \cdot (-2x + 6) = \frac{3 - x}{\sqrt{-x^2 + 6x + 7}}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3$.
Точка $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.

Вычислим значения функции в критической точке $x=3$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$:
$f(1) = \sqrt{-1^2 + 6(1) + 7} = \sqrt{-1 + 6 + 7} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$f(3) = \sqrt{-3^2 + 6(3) + 7} = \sqrt{-9 + 18 + 7} = \sqrt{16} = 4$.
$f(4) = \sqrt{-4^2 + 6(4) + 7} = \sqrt{-16 + 24 + 7} = \sqrt{15}$.

Сравним полученные значения: $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, $4 = \sqrt{16}$, $\sqrt{15}$.
Так как $\sqrt{12} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, то наименьшее значение функции равно $2\sqrt{3}$, а наибольшее — $4$.

Ответ: наименьшее значение функции $2\sqrt{3}$, наибольшее значение функции $4$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = (x-3)^3(x+2)^2$ на отрезке $[-3; 4]$, найдем ее производную и критические точки.

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x-3)^3)'(x+2)^2 + (x-3)^3((x+2)^2)'$
$f'(x) = 3(x-3)^2 \cdot 1 \cdot (x+2)^2 + (x-3)^3 \cdot 2(x+2) \cdot 1$
Вынесем общий множитель $(x-3)^2(x+2)$:
$f'(x) = (x-3)^2(x+2) [3(x+2) + 2(x-3)] = (x-3)^2(x+2)(3x+6+2x-6) = 5x(x-3)^2(x+2)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$5x(x-3)^2(x+2) = 0$.
Критические точки: $x_1=0$, $x_2=3$, $x_3=-2$. Все эти точки принадлежат отрезку $[-3; 4]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=-3$ и $x=4$:
$f(-3) = (-3-3)^3(-3+2)^2 = (-6)^3(-1)^2 = -216 \cdot 1 = -216$.
$f(-2) = (-2-3)^3(-2+2)^2 = (-5)^3 \cdot 0 = 0$.
$f(0) = (0-3)^3(0+2)^2 = (-3)^3(2)^2 = -27 \cdot 4 = -108$.
$f(3) = (3-3)^3(3+2)^2 = 0 \cdot (5)^2 = 0$.
$f(4) = (4-3)^3(4+2)^2 = 1^3 \cdot 6^2 = 36$.

Среди полученных значений $(-216, -108, 0, 36)$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции $-216$, наибольшее значение функции $36$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$ на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$, найдем ее производную и критические точки.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (2\cos x + \sin 2x)' = -2\sin x + 2\cos(2x) = 2(\cos(2x) - \sin x)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\cos(2x) - \sin x = 0$.
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$, получаем:
$1 - 2\sin^2 x - \sin x = 0$
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:
$2t^2 + t - 1 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. В отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ находится точка $x = -\frac{\pi}{2}$.
2) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. В отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$ находится точка $x = \frac{\pi}{6}$.

Вычислим значения функции в критических точках $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x=-\pi$, $x=\frac{\pi}{2}$:
$f(-\pi) = 2\cos(-\pi) + \sin(-2\pi) = 2(-1) + 0 = -2$.
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\pi) = 2(0) + 0 = 0$.
$f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) = 2(0) + 0 = 0$.

Среди полученных значений $(-2, 0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: наименьшее значение функции $-2$, наибольшее значение функции $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.