Номер 315, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

315. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ на промежутке $[-3; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ на отрезке $[-3; 1]$, необходимо исследовать её на этом отрезке.

Так как в определении функции присутствует модуль, раскроем его. Функция будет иметь разный вид для положительных и отрицательных значений $x$.

1. При $x \in [0; 1]$ (часть заданного промежутка, где $x \ge 0$), имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 4x + 3$.

2. При $x \in [-3; 0)$ (часть заданного промежутка, где $x < 0$), имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:

Для интервала $(0; 1)$:
$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-3; 1]$, поэтому мы её не рассматриваем.

Для интервала $(-3; 0)$:
$f'(x) = (x^2 + 4x + 3)' = 2x + 4$.
Приравняем производную к нулю: $2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$. Эта точка принадлежит отрезку $[-3; 1]$, следовательно, $x = -2$ является критической точкой.

Точка $x = 0$ также является критической, так как в ней "стыкуются" два разных выражения для функции, и производная в этой точке может не существовать. Проверим односторонние производные в точке $x=0$:
$f'_-(0) = (2x+4)|_{x=0} = 4$
$f'_+(0) = (2x-4)|_{x=0} = -4$
Поскольку $f'_-(0) \neq f'_+(0)$, производная в точке $x=0$ не существует, значит, $x=0$ — критическая точка.

Теперь необходимо вычислить значения функции в найденных критических точках ($x = -2$, $x = 0$) и на концах заданного отрезка ($x = -3$ и $x = 1$).

Вычисляем значения:

1. На левом конце отрезка: $x = -3$
$f(-3) = (-3)^2 - 4|-3| + 3 = 9 - 4 \cdot 3 + 3 = 0$.

2. В критической точке: $x = -2$
$f(-2) = (-2)^2 - 4|-2| + 3 = 4 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$.

3. В критической точке: $x = 0$
$f(0) = 0^2 - 4|0| + 3 = 3$.

4. На правом конце отрезка: $x = 1$
$f(1) = 1^2 - 4|1| + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Мы получили четыре значения: $0, -1, 3, 0$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -1, 3, 0\}$, находим, что максимальное из них равно 3.

Ответ: $3$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -1, 3, 0\}$, находим, что минимальное из них равно -1.

Ответ: $-1$.