Номер 313, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

313. Площадь прямоугольника равна 400 см$^2$. Какими должны быть его стороны, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

По условию задачи, площадь равна 400 см², следовательно:

$a \cdot b = 400$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

Чтобы периметр был наименьшим, нужно минимизировать значение выражения $P = 2(a + b)$.

Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу площади. Выразим $b$ через $a$:

$b = \frac{400}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. Таким образом, периметр станет функцией одной переменной $a$:

$P(a) = 2(a + \frac{400}{a})$

Для того чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти точки экстремума (минимума или максимума).

Найдем производную функции $P(a)$:

$P'(a) = (2a + \frac{800}{a})' = 2 - \frac{800}{a^2}$

Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{800}{a^2} = 0$

Решим полученное уравнение:

$2 = \frac{800}{a^2}$

$2a^2 = 800$

$a^2 = 400$

$a = \sqrt{400} = 20$

Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной. Мы нашли критическую точку $a=20$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак производной слева и справа от этой точки. При $a < 20$ (например, $a=10$), $P'(10) = 2 - \frac{800}{100} = -6 < 0$, значит, функция убывает. При $a > 20$ (например, $a=40$), $P'(40) = 2 - \frac{800}{1600} = 1.5 > 0$, значит, функция возрастает. Таким образом, в точке $a=20$ достигается минимум функции периметра.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:

$b = \frac{400}{a} = \frac{400}{20} = 20$

Получилось, что стороны прямоугольника равны, то есть это квадрат со стороной 20 см. Именно при такой форме периметр будет наименьшим для заданной площади.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 20 см и 20 см.