Номер 314, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

314. В полукруг радиуса $2\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть радиус полукруга $R = 2\sqrt{5}$ см. Впишем прямоугольник в полукруг так, чтобы одна его сторона лежала на диаметре полукруга. Введем систему координат, в которой центр диаметра совпадает с началом координат, а сам диаметр лежит на оси Ox. Тогда дуга полукруга описывается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$ при $y \ge 0$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Пусть сторона $a$ лежит на оси Ox. Тогда ее длина $a = 2x$, где $x$ — абсцисса правой верхней вершины прямоугольника. Высота прямоугольника $b = y$, где $y$ — ордината этой же вершины. Координаты $(x, y)$ этой вершины удовлетворяют уравнению полуокружности, то есть $x^2 + y^2 = R^2$.

Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой $P = 2(a+b) = 2(2x+y) = 4x+2y$.

Из уравнения полуокружности выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (поскольку $y \ge 0$). Подставим это выражение в формулу для периметра, чтобы получить функцию одной переменной $x$:$P(x) = 4x + 2\sqrt{R^2 - x^2}$, где $x \in (0, R)$.

Для нахождения наибольшего значения периметра найдем производную функции $P(x)$ и приравняем ее к нулю:$P'(x) = \frac{d}{dx}(4x + 2\sqrt{R^2 - x^2}) = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$.

Приравняем производную к нулю:$P'(x) = 0 \implies 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = 0$$4 = \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$$2\sqrt{R^2 - x^2} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:$4(R^2 - x^2) = x^2$$4R^2 - 4x^2 = x^2$$5x^2 = 4R^2$$x = \sqrt{\frac{4R^2}{5}} = \frac{2R}{\sqrt{5}}$.

Подставим значение радиуса $R = 2\sqrt{5}$ см:$x = \frac{2 \cdot 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 4$ см.

Теперь найдем высоту прямоугольника $y$:$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{20 - 16} = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a=2x$ и $b=y$:$a = 2 \cdot 4 = 8$ см.$b = 2$ см.

Ответ: 8 см и 2 см.