Номер 4, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Является ли чётной функция, заданная формулой $y = x^4$, если её область определения — множество:

1) $[-7; 7];$

2) $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty);$

3) $[-8; 8]?$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия:
1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим второе условие для заданной функции $y = x^4$.
$f(-x) = (-x)^4 = x^4$.
Поскольку $f(x) = x^4$, то равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется всегда.
Следовательно, для ответа на вопрос нужно проверить только первое условие: симметричность области определения для каждого случая.

1) Рассматривается область определения $[-7; 7]$.

Данное множество (отрезок) является симметричным относительно нуля. Для любого числа $x$ из этого отрезка, $-7 \le x \le 7$. Если умножить неравенство на -1, получим $7 \ge -x \ge -7$, что равносильно $-7 \le -x \le 7$. Это означает, что $-x$ также принадлежит отрезку $[-7; 7]$.
Так как область определения симметрична, и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: да, является.

2) Рассматривается область определения $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Данное множество симметрично относительно нуля. Если $x$ принадлежит этому множеству, то либо $x \in (-\infty; -2)$, либо $x \in (2; +\infty)$.
Если $x \in (-\infty; -2)$, то $x < -2$, откуда $-x > 2$, то есть $-x \in (2; +\infty)$.
Если $x \in (2; +\infty)$, то $x > 2$, откуда $-x < -2$, то есть $-x \in (-\infty; -2)$.
В обоих случаях, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит. Область определения симметрична.
Так как область определения симметрична, и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: да, является.

3) Рассматривается область определения $[-8; 8)$.

Данное множество (полуинтервал) не является симметричным относительно нуля. Например, число $x = -8$ принадлежит этому множеству, но противоположное ему число $-x = -(-8) = 8$ не принадлежит этому множеству, так как правая граница 8 не включена в интервал.
Поскольку область определения несимметрична, первое условие для чётной функции не выполняется.
Ответ: нет, не является.