Номер 7, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = 45$

2) $f(x) = -7x^6 + 2x^2 - 10$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$

4) $f(x) = \sqrt{11 - x} + \sqrt{11 + x}$

5) $f(x) = \frac{2x^2}{|x|} - 1$

6) $f(x) = \frac{|x + 5| - |x - 5|}{x}$

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:
1) Область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2) Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1) $f(x) = 45$
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = 45$.
Поскольку $f(x) = 45$ и $f(-x) = 45$, то $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = -7x^6 + 2x^2 - 10$
1. Область определения данной полиномиальной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = -7(-x)^6 + 2(-x)^2 - 10$.
Так как $(-x)^{2n} = x^{2n}$ (любая чётная степень "поглощает" знак минус), получаем:
$f(-x) = -7x^6 + 2x^2 - 10$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполняются, значит, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$
1. Найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 7 \ge 0 \implies x^2 \ge 7 \implies |x| \ge \sqrt{7}$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 7} = \sqrt{x^2 - 7}$.
Видим, что $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{11 - x} + \sqrt{11 + x}$
1. Найдём область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 11 - x \ge 0 \\ 11 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 11 \\ x \ge -11 \end{cases}$.
Область определения $D(f) = [-11; 11]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sqrt{11 - (-x)} + \sqrt{11 + (-x)} = \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 - x}$.
От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому $f(-x) = \sqrt{11 - x} + \sqrt{11 + x} = f(x)$.
Оба условия выполняются, значит, функция чётная.
Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \frac{2x^2}{|x|} - 1$
1. Найдём область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{2(-x)^2}{|-x|} - 1$.
Используя свойства $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$, получаем:
$f(-x) = \frac{2x^2}{|x|} - 1 = f(x)$.
Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

6) $f(x) = \frac{|x+5| - |x-5|}{x}$
1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{|(-x)+5| - |(-x)-5|}{-x} = \frac{|5-x| - |-x-5|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|5-x| = |-(x-5)| = |x-5|$ и $|-x-5| = |-(x+5)| = |x+5|$.
Подставим это в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|x-5| - |x+5|}{-x}$.
Вынесем знак минус из числителя:
$f(-x) = \frac{-(|x+5| - |x-5|)}{-x}$.
Сократим знаки минус в числителе и знаменателе:
$f(-x) = \frac{|x+5| - |x-5|}{x} = f(x)$.
Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.