Номер 1, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 21 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-3; 6]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[3,5; 5,5]$;

2) $[-3; 3,5]$;

3) $[-2; 0,5]$

Рис. 21

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[3,5; 5,5]$, рассмотрим соответствующую часть графика. На этом отрезке функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной.
Из графика находим:
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(3,5) = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(5,5) = 3,5$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 3,5.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-3; 3,5]$, необходимо сравнить значения функции на концах этого отрезка и в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов), которые находятся внутри этого отрезка.
Значения на концах отрезка:
$f(-3) = 3$
$f(3,5) = 1$
Значения в точках экстремумов внутри отрезка:
Локальный минимум в точке $x = -1$: $f(-1) = -1$.
Локальный максимум в точке $x = 2$: $f(2) = 2$.
Локальный минимум в точке $x = 3$: $f(3) = 1$.
Сравнивая все полученные значения $\{3, 1, -1, 2, 1\}$, выбираем самое большое и самое маленькое.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 3.

3) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $[-2; 0,5]$, сравним значения функции на концах этого отрезка и в точках локальных экстремумов, которые находятся внутри него.
Значения на концах отрезка:
$f(-2) = 0$
$f(0,5) = -0,5$
Внутри этого отрезка находится точка локального минимума $x = -1$, в которой значение функции равно $f(-1) = -1$.
Сравнивая значения $\{0, -0,5, -1\}$, выбираем самое большое и самое маленькое.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 0$.
Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 0.