gdz.top
Номер 312, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции - номер 312, страница 106.
№311
№312 (с. 106)
Условие. №312 (с. 106)
312. Найдите такое положительное число $x$, что разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из этого числа, то есть $x - 2\sqrt{x}$, принимает наименьшее значение.
Решение. №312 (с. 106)
Пусть искомое положительное число равно $x$. Согласно условию задачи, $x > 0$. Разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из него можно представить в виде функции $f(x)$: $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ Наша задача — найти такое значение $x$, при котором функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения на интервале $(0, +\infty)$.
Для нахождения точки минимума функции воспользуемся методами дифференциального исчисления. Сначала найдем первую производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x - 2\sqrt{x})' = (x - 2x^{1/2})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$
Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$ $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$ $1 = \frac{1}{\sqrt{x}}$ Отсюда следует, что $\sqrt{x} = 1$. Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем: $x = 1$
Чтобы определить, является ли $x=1$ точкой минимума, найдем вторую производную функции: $f''(x) = (1 - x^{-1/2})' = -(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$ Теперь вычислим значение второй производной в найденной критической точке $x=1$: $f''(1) = \frac{1}{2\sqrt{1^3}} = \frac{1}{2}$ Поскольку значение второй производной в точке $x=1$ положительно ($f''(1) > 0$), эта точка является точкой минимума. Так как это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале $(0, +\infty)$, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
Таким образом, искомое положительное число равно 1.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 312 расположенного на странице 106 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №312 (с. 106), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.