Номер 308, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

308. Найдите, при каких значениях a функция

$f(x) = \cos^2 x + (4a - 3)x$

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Данная функция $f(x) = \cos^2 x + (4a-3)x$. Для нахождения критических точек и точек экстремума необходимо найти производную функции. Критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Точки экстремума – это критические точки, в которых производная меняет знак.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (\cos^2 x + (4a-3)x)' = (\cos^2 x)' + ((4a-3)x)'$ Используя правило дифференцирования сложной функции для первого слагаемого и правило дифференцирования линейной функции для второго, получаем: $f'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) + (4a-3) = -2\sin x \cos x + 4a - 3$ Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, упрощаем выражение: $f'(x) = -\sin(2x) + 4a - 3$

Функция $f'(x)$ определена для всех действительных значений $x$, поэтому критическими точками будут только те точки, в которых производная равна нулю. $f'(x) = 0 \implies -\sin(2x) + 4a - 3 = 0$ $\sin(2x) = 4a - 3$

1) не имеет критических точек;

Функция не будет иметь критических точек, если уравнение $\sin(2x) = 4a - 3$ не имеет решений. Мы знаем, что область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Следовательно, уравнение не будет иметь решений, если правая часть этого уравнения будет находиться вне этого отрезка.

Это приводит к совокупности двух неравенств: $4a - 3 < -1$ или $4a - 3 > 1$

Решим первое неравенство: $4a - 3 < -1$ $4a < -1 + 3$ $4a < 2$ $a < \frac{2}{4}$ $a < \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство: $4a - 3 > 1$ $4a > 1 + 3$ $4a > 4$ $a > 1$

Таким образом, функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$

2) не имеет точек экстремума.

Функция не имеет точек экстремума, если ее производная $f'(x)$ не меняет знак. Это означает, что производная должна быть либо всегда неотрицательной ($f'(x) \ge 0$ для всех $x$), либо всегда неположительной ($f'(x) \le 0$ для всех $x$).

Рассмотрим первый случай: $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. $-\sin(2x) + 4a - 3 \ge 0$ $4a - 3 \ge \sin(2x)$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Поскольку наибольшее значение $\sin(2x)$ равно 1, левая часть должна быть больше или равна этому значению. $4a - 3 \ge 1$ $4a \ge 4$ $a \ge 1$

Рассмотрим второй случай: $f'(x) \le 0$ для всех $x$. $-\sin(2x) + 4a - 3 \le 0$ $4a - 3 \le \sin(2x)$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Поскольку наименьшее значение $\sin(2x)$ равно -1, левая часть должна быть меньше или равна этому значению. $4a - 3 \le -1$ $4a \le 2$ $a \le \frac{1}{2}$

Объединяя оба случая, получаем, что функция не имеет точек экстремума, если $a \le \frac{1}{2}$ или $a \ge 1$. В граничных случаях ($a=\frac{1}{2}$ и $a=1$) производная обращается в ноль в некоторых точках, но не меняет знак, поэтому эти точки являются точками перегиба, а не точками экстремума.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$