Номер 305, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Определите, имеет ли данная функция точки экстремума:

1) $f(x) = -4x^5$;

2) $f(x) = \sqrt[6]{x^5}$;

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$;

4) $f(x) = \sin x + x$.

Для определения наличия точек экстремума у функции необходимо найти её производную и критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует). Затем нужно исследовать знак производной в окрестностях этих точек. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум.

1) $f(x) = -4x^5$

Найдём производную функции:
$f'(x) = (-4x^5)' = -4 \cdot 5x^4 = -20x^4$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$-20x^4 = 0$
$x = 0$.
Производная существует на всей числовой оси. Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=0$.
Определим знак производной слева и справа от точки $x=0$.
Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = -20x^4 \le 0$ для всех $x$.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$.
При $x > 0$, $f'(x) < 0$.
Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, то в этой точке нет экстремума. Функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

2) $f(x) = \sqrt[6]{x^5}$

Область определения функции: $x^5 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{5/6}$. Найдём производную функции для $x > 0$:
$f'(x) = (x^{5/6})' = \frac{5}{6}x^{5/6-1} = \frac{5}{6}x^{-1/6} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$.
Производная $f'(x)$ нигде не равна нулю. Однако производная не существует в точке $x=0$, которая является граничной точкой области определения. Эта точка является критической.
Для всех $x > 0$ (т.е. на всей области определения, где производная существует), $f'(x) = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}} > 0$.
Это означает, что функция возрастает на всём промежутке $[0, +\infty)$.
В точке $x=0$ функция принимает наименьшее значение $f(0)=0$. Таким образом, точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как корень нечетной степени определён для любого действительного числа.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{2/3}$. Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Производная не равна нулю ни в одной точке. Производная не существует при $x=0$. Следовательно, $x=0$ — критическая точка.
Определим знак производной слева и справа от точки $x=0$.
При $x > 0$, $\sqrt[3]{x} > 0$, значит $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
При $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$, значит $f'(x) < 0$ (функция убывает).
При переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

4) $f(x) = \sin x + x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Найдём производную функции:
$f'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$\cos x + 1 = 0$
$\cos x = -1$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Производная существует на всей числовой оси. Критические точки — это $x = \pi + 2\pi k$.
Исследуем знак производной. Так как $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то $0 \le \cos x + 1 \le 2$.
Это означает, что производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Она равна нулю только в критических точках, а во всех остальных точках положительна.
Поскольку производная не меняет знак (она всегда неотрицательна), функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.