Номер 299, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$;

2) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

1) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим ее знак.

1. Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, получаем, что область определения функции $D(f) = [0, 2]$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$

3. Найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная определена на интервале $(0, 2)$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Отсюда $1 - x = 0$, что дает $x = 1$. Эта точка принадлежит области определения $[0, 2]$.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt{2x - x^2} = 0$, то есть при $x=0$ и $x=2$. Это граничные точки области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

Знаменатель производной $\sqrt{2x - x^2}$ положителен на интервале $(0, 2)$, поэтому знак $f'(x)$ зависит только от знака числителя $(1 - x)$.

• На интервале $(0, 1)$: выберем пробную точку, например $x=0.5$. Тогда $1 - x = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция на этом интервале возрастает.
• На интервале $(1, 2)$: выберем пробную точку, например $x=1.5$. Тогда $1 - x = 1 - 1.5 = -0.5 < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция на этом интервале убывает.

Поскольку функция непрерывна на концах промежутков, мы можем включить их в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$ и убывает на промежутке $[1, 2]$.

2) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как и $\cos x$, и линейная функция определены для любого $x$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies -\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются две серии корней:

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

4. Определим знаки производной на интервалах. Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, и убывает, когда $f'(x) < 0$.

Функция возрастает, если $-\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, то есть $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решая это неравенство, получаем, что функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. (Например, для $k=0$ это промежуток $[\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]$)

Функция убывает, если $-\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$, то есть $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решая это неравенство, получаем, что функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. (Например, для $k=0$ это промежуток $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$)

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.