Номер 294, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{3-x}{x+4}$ в точке с абсциссой $x_0=-3$. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{3-x}{x+4}$ в точке с абсциссой $x_0 = -3$.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -3$:
$f(-3) = \frac{3 - (-3)}{-3 + 4} = \frac{3 + 3}{1} = 6$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-3; 6)$.
2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{3-x}{x+4}\right)' = \frac{(3-x)'(x+4) - (3-x)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{-1 \cdot (x+4) - (3-x) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{-x-4-3+x}{(x+4)^2} = \frac{-7}{(x+4)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -3$, которое равно угловому коэффициенту $k$ касательной:
$k = f'(-3) = \frac{-7}{(-3+4)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7$.
4. Подставим найденные значения $x_0 = -3$, $f(x_0) = 6$ и $f'(x_0) = -7$ в уравнение касательной:
$y = 6 + (-7)(x - (-3))$
$y = 6 - 7(x + 3)$
$y = 6 - 7x - 21$
$y = -7x - 15$.
Ответ: $y = -7x - 15$.

Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?
Прямые, параллельные найденной касательной $y = -7x - 15$, должны иметь такой же угловой коэффициент, то есть $k = -7$.
Чтобы определить, существуют ли другие касательные с таким же угловым коэффициентом, необходимо найти все значения $x$, для которых производная $f'(x)$ равна $-7$.
Решим уравнение $f'(x) = -7$:
$\frac{-7}{(x+4)^2} = -7$.
Область определения функции и ее производной: $x \neq -4$.
Разделим обе части уравнения на $-7$:
$\frac{1}{(x+4)^2} = 1$
$(x+4)^2 = 1$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
1) $x+4 = 1 \implies x = 1 - 4 = -3$.
2) $x+4 = -1 \implies x = -1 - 4 = -5$.
Уравнение имеет два решения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.
Значение $x = -3$ соответствует уже найденной касательной. Значение $x = -5$ является абсциссой другой точки на графике функции, в которой касательная имеет тот же угловой коэффициент $k = -7$. Следовательно, эта касательная параллельна первой.
Таким образом, существует еще одна прямая, параллельная найденной касательной, которая также является касательной к графику данной функции.
Ответ: Да, существуют.