Номер 288, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 4x$, $x_0 = -2$;

2) $f(x) = \frac{1}{x-1}$, $x_0 = 2$;

3) $f(x) = \sqrt{x+2}$, $x_0 = 7$;

4) $f(x) = \sin 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{9}$.

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 4x$ в точке $x_0 = -2$ найдем все необходимые значения.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = \frac{1}{6}(-2)^3 + 4(-2) = \frac{1}{6}(-8) - 8 = -\frac{4}{3} - 8 = -\frac{4}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{28}{3}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{6}x^3 + 4x)' = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 + 4 = \frac{1}{2}x^2 + 4$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = 2 + 4 = 6$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{28}{3} + 6(x - (-2)) = -\frac{28}{3} + 6(x + 2) = -\frac{28}{3} + 6x + 12 = 6x + \frac{36 - 28}{3} = 6x + \frac{8}{3}$.

Ответ: $y = 6x + \frac{8}{3}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{x-1}$ в точке $x_0 = 2$ найдем все необходимые значения для уравнения касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{2-1} = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{x-1})' = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = -\frac{1}{(2-1)^2} = -\frac{1}{1^2} = -1$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - 2) = 1 - x + 2 = 3 - x$.

Ответ: $y = -x + 3$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{x+2}$ в точке $x_0 = 7$ найдем все необходимые значения для уравнения касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(7) = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x+2})' = ((x+2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x+2)' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(7) = \frac{1}{2\sqrt{7+2}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 3 + \frac{1}{6}(x - 7) = 3 + \frac{1}{6}x - \frac{7}{6} = \frac{18}{6} - \frac{7}{6} + \frac{1}{6}x = \frac{11}{6} + \frac{1}{6}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{6}x + \frac{11}{6}$.

4) Для функции $f(x) = \sin{3x}$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{9}$ найдем все необходимые значения для уравнения касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{9}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin{3x})' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{9}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{9}) = 3\cos(\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}(x - \frac{\pi}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{9} = \frac{3}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.