Номер 281, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

281. Найдите производную функции:

1) $y = 4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6;$

2) $y = \frac{1}{4}x^8 + 6\sqrt{x} - 7x;$

3) $y = x^2 + \frac{2}{x};$

4) $y = \frac{3}{x^4} - \frac{6}{x^2};$

5) $y = \frac{x^9}{9} + \sqrt{2}\cos x + \tan\frac{\pi}{4} - 2x^4;$

6) $y = \tan x - \cot x.$

1) Дана функция $y = 4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы/разности функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.
$y' = (4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6)' = (4x^6)' - (2x^4)' + (3x^2)' + (6)'$
$y' = 4 \cdot 6x^{6-1} - 2 \cdot 4x^{4-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} + 0$
$y' = 24x^5 - 8x^3 + 6x$
Ответ: $24x^5 - 8x^3 + 6x$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{4}x^8 + 6\sqrt{x} - 7x$.
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ и применим те же правила дифференцирования.
$y' = (\frac{1}{4}x^8 + 6x^{\frac{1}{2}} - 7x)' = (\frac{1}{4}x^8)' + (6x^{\frac{1}{2}})' - (7x)'$
$y' = \frac{1}{4} \cdot 8x^{8-1} + 6 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 7 \cdot 1x^{1-1}$
$y' = 2x^7 + 3x^{-\frac{1}{2}} - 7$
$y' = 2x^7 + \frac{3}{\sqrt{x}} - 7$
Ответ: $2x^7 + \frac{3}{\sqrt{x}} - 7$.

3) Дана функция $y = x^2 + \frac{2}{x}$.
Представим $\frac{2}{x}$ как $2x^{-1}$ и используем правило производной степенной функции.
$y' = (x^2 + 2x^{-1})' = (x^2)' + (2x^{-1})'$
$y' = 2x^{2-1} + 2 \cdot (-1)x^{-1-1}$
$y' = 2x - 2x^{-2}$
$y' = 2x - \frac{2}{x^2}$
Ответ: $2x - \frac{2}{x^2}$.

4) Дана функция $y = \frac{3}{x^4} - \frac{6}{x^2}$.
Представим функцию в виде $y = 3x^{-4} - 6x^{-2}$ и применим правило производной степенной функции.
$y' = (3x^{-4} - 6x^{-2})' = (3x^{-4})' - (6x^{-2})'$
$y' = 3 \cdot (-4)x^{-4-1} - 6 \cdot (-2)x^{-2-1}$
$y' = -12x^{-5} + 12x^{-3}$
$y' = \frac{12}{x^3} - \frac{12}{x^5}$
Ответ: $\frac{12}{x^3} - \frac{12}{x^5}$.

5) Дана функция $y = \frac{x^9}{9} + \sqrt{2}\cos x + \tg\frac{\pi}{4} - 2x^4$.
Учтем, что $\tg\frac{\pi}{4} = 1$ является константой, и её производная равна нулю. Производная $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (\frac{1}{9}x^9)' + (\sqrt{2}\cos x)' + (\tg\frac{\pi}{4})' - (2x^4)'$
$y' = \frac{1}{9} \cdot 9x^{9-1} + \sqrt{2}(-\sin x) + 0 - 2 \cdot 4x^{4-1}$
$y' = x^8 - \sqrt{2}\sin x - 8x^3$
Ответ: $x^8 - \sqrt{2}\sin x - 8x^3$.

6) Дана функция $y = \tg x - \ctg x$.
Используем формулы производных тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$y' = (\tg x - \ctg x)' = (\tg x)' - (\ctg x)'$
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - (-\frac{1}{\sin^2 x})$
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}$
Можно привести к общему знаменателю: $y' = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x}$. Оба варианта верны.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}$.