Номер 277, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Найдите угловой коэффициент касательной, прове- дённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^6, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \sqrt[5]{x}, x_0 = 243;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^4}, x_0 = 5;$

4) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}.\;$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^6$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = 6 \cdot (-1)^5 = 6 \cdot (-1) = -6$.

Ответ: $-6$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ и точка $x_0 = 243$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 243$. Заметим, что $243 = 3^5$, поэтому $\sqrt[5]{243} = 3$.

$k = f'(243) = \frac{1}{5\sqrt[5]{243^4}} = \frac{1}{5(\sqrt[5]{243})^4} = \frac{1}{5 \cdot 3^4} = \frac{1}{5 \cdot 81} = \frac{1}{405}$.

Ответ: $\frac{1}{405}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^4}$ и точка $x_0 = 5$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-4}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 5$:

$k = f'(5) = -\frac{4}{5^5} = -\frac{4}{3125}$.

Ответ: $-\frac{4}{3125}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции. Производная косинуса равна минус синусу:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.