Номер 282, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

282. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 + 4)(x^2 - 3);$

2) $y = \sqrt{x}(4x - 3);$

3) $y = (\sqrt{x} - 2)(5 - 6\sqrt{x});$

4) $y = (x^3 + x^2 - 4)(x^2 - 4x + 1);$

5) $y = x^2 \sin x;$

6) $y = x^3 \operatorname{ctg} x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x^3 + 4)(x^2 - 3)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3 + 4$ и $v(x) = x^2 - 3$.
Найдём производные этих функций: $u' = (x^3 + 4)' = 3x^2$.
$v' = (x^2 - 3)' = 2x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 - 3) + (x^3 + 4)(2x)$.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$y' = 3x^4 - 9x^2 + 2x^4 + 8x = 5x^4 - 9x^2 + 8x$.
Ответ: $5x^4 - 9x^2 + 8x$.

2) Для функции $y = \sqrt{x}(4x - 3)$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = 4x - 3$.
Найдём их производные: $u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v' = (4x - 3)' = 4$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(4x - 3) + \sqrt{x} \cdot 4 = \frac{4x - 3}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}$.
Приведём к общему знаменателю и упростим:
$y' = \frac{4x - 3}{2\sqrt{x}} + \frac{4\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{4x - 3 + 8x}{2\sqrt{x}} = \frac{12x - 3}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $\frac{12x - 3}{2\sqrt{x}}$.

3) Для функции $y = (\sqrt{x} - 2)(5 - 6\sqrt{x})$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = \sqrt{x} - 2$ и $v(x) = 5 - 6\sqrt{x}$.
Найдём их производные: $u' = (\sqrt{x} - 2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v' = (5 - 6\sqrt{x})' = -6 \cdot (\sqrt{x})' = -6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{\sqrt{x}}$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(5 - 6\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 2)(-\frac{3}{\sqrt{x}})$.
Раскроем скобки и упростим:
$y' = \frac{5}{2\sqrt{x}} - \frac{6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2\sqrt{x}} - 3 - 3 + \frac{6}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2\sqrt{x}} + \frac{12}{2\sqrt{x}} - 6 = \frac{17}{2\sqrt{x}} - 6$.
Ответ: $\frac{17}{2\sqrt{x}} - 6$.

4) Для функции $y = (x^3 + x^2 - 4)(x^2 - 4x + 1)$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3 + x^2 - 4$ и $v(x) = x^2 - 4x + 1$.
Найдём их производные:
$u' = (x^3 + x^2 - 4)' = 3x^2 + 2x$.
$v' = (x^2 - 4x + 1)' = 2x - 4$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2 + 2x)(x^2 - 4x + 1) + (x^3 + x^2 - 4)(2x - 4)$.
Раскроем скобки:
$y' = (3x^4 - 12x^3 + 3x^2 + 2x^3 - 8x^2 + 2x) + (2x^4 - 4x^3 + 2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)$.
Приведём подобные слагаемые:
$y' = (3x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 2x) + (2x^4 - 2x^3 - 4x^2 - 8x + 16)$.
$y' = (3+2)x^4 + (-10-2)x^3 + (-5-4)x^2 + (2-8)x + 16 = 5x^4 - 12x^3 - 9x^2 - 6x + 16$.
Ответ: $5x^4 - 12x^3 - 9x^2 - 6x + 16$.

5) Для функции $y = x^2 \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Найдём их производные:
$u' = (x^2)' = 2x$.
$v' = (\sin x)' = \cos x$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$.
Ответ: $2x \sin x + x^2 \cos x$.

6) Для функции $y = x^3 \operatorname{ctg} x$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Найдём их производные:
$u' = (x^3)' = 3x^2$.
$v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставим в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\operatorname{ctg} x) + (x^3)(-\frac{1}{\sin^2 x}) = 3x^2 \operatorname{ctg} x - \frac{x^3}{\sin^2 x}$.
Ответ: $3x^2 \operatorname{ctg} x - \frac{x^3}{\sin^2 x}$.