gdz.top
Номер 289, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Уравнение касательной - номер 289, страница 102.
№288
№289 (с. 102)
Условие. №289 (с. 102)
289. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \text{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$ в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. №289 (с. 102)
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
По условию, касательную нужно провести в точке пересечения графика функции с осью ординат. Абсцисса этой точки равна нулю, то есть $x_0 = 0$.
1. Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(0) = \tg\left(\frac{0}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; \frac{\sqrt{3}}{3})$.
2. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной функции в точке $x_0$. Сначала найдем производную функции $f(x) = \tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)} \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)' = \frac{1}{3\cos^2\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1}{3\cos^2\left(\frac{0}{3} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{3\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$.
Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$f'(0) = \frac{1}{3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$.
3. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $f'(x_0) = \frac{4}{9}$ в общее уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{4}{9}(x - 0)$
$y = \frac{4}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $y = \frac{4}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 289 расположенного на странице 102 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №289 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.