Страница 102 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Найдите производную функции:

1) $y = (2x - 7)^6$;

2) $y = (3x^4 + 8x)^7$;

3) $y = \frac{1}{(x^2 + x)^4}$;

4) $y = \sqrt{3x - 14}$;

5) $y = \sqrt[3]{2x^3 + 4x}$;

6) $y = \sin \frac{x}{4}$;

7) $y = \cos^3 x$;

8) $y = \sqrt{\cos 3x}$;

9) $y = \frac{\cos \frac{x}{2}}{x + 1}$;

10) $y = x^3 \sin \frac{2}{x}$.

1) $ y = (2x - 7)^6 $

Для нахождения производной данной сложной функции используем формулу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x - 7$ и $n = 6$.

Производная внутренней функции $u' = (2x - 7)' = 2$.

Тогда производная всей функции равна:

$ y' = 6(2x - 7)^{6-1} \cdot (2x-7)' = 6(2x - 7)^5 \cdot 2 = 12(2x - 7)^5 $

Ответ: $ y' = 12(2x - 7)^5 $

2) $ y = (3x^4 + 8x)^7 $

Это сложная функция вида $y = u^7$, где $u = 3x^4 + 8x$. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

$ y' = 7(3x^4 + 8x)^{7-1} \cdot (3x^4 + 8x)' $

Находим производную внутренней функции:

$ (3x^4 + 8x)' = 3 \cdot 4x^3 + 8 = 12x^3 + 8 $

Подставляем обратно:

$ y' = 7(3x^4 + 8x)^6 \cdot (12x^3 + 8) $

Ответ: $ y' = 7(12x^3 + 8)(3x^4 + 8x)^6 $

3) $ y = \frac{1}{(x^2 + x)^4} $

Перепишем функцию в виде степени: $ y = (x^2 + x)^{-4} $. Это сложная функция вида $y = u^{-4}$, где $u = x^2 + x$.

$ y' = -4(x^2 + x)^{-4-1} \cdot (x^2 + x)' = -4(x^2 + x)^{-5} \cdot (2x + 1) $

Возвращаемся к дроби:

$ y' = -\frac{4(2x + 1)}{(x^2 + x)^5} $

Ответ: $ y' = -\frac{4(2x + 1)}{(x^2 + x)^5} $

4) $ y = \sqrt{3x - 14} $

Представим корень как степень: $ y = (3x - 14)^{\frac{1}{2}} $. Это сложная функция вида $y = u^{\frac{1}{2}}$, где $u = 3x - 14$.

Используем формулу $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$ u' = (3x - 14)' = 3 $

$ y' = \frac{1}{2\sqrt{3x - 14}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 14}} $

Ответ: $ y' = \frac{3}{2\sqrt{3x - 14}} $

5) $ y = \sqrt[3]{2x^3 + 4x} $

Перепишем функцию в виде степени: $ y = (2x^3 + 4x)^{\frac{1}{3}} $. Это сложная функция $y = u^{\frac{1}{3}}$, где $u = 2x^3 + 4x$.

$ y' = \frac{1}{3}(2x^3 + 4x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x^3 + 4x)' = \frac{1}{3}(2x^3 + 4x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (6x^2 + 4) $

Упростим выражение:

$ y' = \frac{6x^2 + 4}{3(2x^3 + 4x)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2(3x^2 + 2)}{3\sqrt[3]{(2x^3 + 4x)^2}} $

Ответ: $ y' = \frac{2(3x^2 + 2)}{3\sqrt[3]{(2x^3 + 4x)^2}} $

6) $ y = \sin\frac{x}{4} $

Это сложная функция вида $y = \sin(u)$, где $u = \frac{x}{4}$. Используем цепное правило $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$ u' = (\frac{x}{4})' = \frac{1}{4} $

$ y' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\cos\frac{x}{4} $

Ответ: $ y' = \frac{1}{4}\cos\frac{x}{4} $

7) $ y = \cos^3 x $

Перепишем функцию как $ y = (\cos x)^3 $. Это сложная функция вида $y = u^3$, где $u = \cos x$.

$ y' = 3(\cos x)^{3-1} \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\sin x \cos^2 x $

Ответ: $ y' = -3\sin x \cos^2 x $

8) $ y = \sqrt{\cos 3x} $

Это дважды сложная функция. Представим ее как $ y = (u)^{\frac{1}{2}} $, где $ u = \cos v $, а $ v = 3x $.

Применяем цепное правило последовательно:

$ y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 3x}} \cdot (\cos 3x)' $

Находим производную $ (\cos 3x)' $:

$ (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x) $

Подставляем обратно:

$ y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 3x}} \cdot (-3\sin 3x) = -\frac{3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}} $

Ответ: $ y' = -\frac{3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}} $

9) $ y = \frac{\cos\frac{x}{2}}{x + 1} $

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \cos\frac{x}{2}$ и $v = x + 1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$ u' = (\cos\frac{x}{2})' = -\sin\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} $

$ v' = (x + 1)' = 1 $

Подставляем в формулу:

$ y' = \frac{(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2})(x + 1) - (\cos\frac{x}{2})(1)}{(x + 1)^2} = \frac{-\frac{1}{2}(x+1)\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}}{(x + 1)^2} $

Можно упростить, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ y' = \frac{-(x+1)\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2}}{2(x + 1)^2} $

Ответ: $ y' = \frac{-(x+1)\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2}}{2(x + 1)^2} $

10) $ y = x^3 \sin\frac{2}{x} $

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^3$ и $v = \sin\frac{2}{x}$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$ u' = (x^3)' = 3x^2 $

$ v' = (\sin\frac{2}{x})' = \cos\frac{2}{x} \cdot (\frac{2}{x})' = \cos\frac{2}{x} \cdot (2x^{-1})' = \cos\frac{2}{x} \cdot (-2x^{-2}) = -\frac{2}{x^2}\cos\frac{2}{x} $

Подставляем в формулу:

$ y' = (3x^2)(\sin\frac{2}{x}) + (x^3)(-\frac{2}{x^2}\cos\frac{2}{x}) $

Упрощаем выражение:

$ y' = 3x^2\sin\frac{2}{x} - \frac{2x^3}{x^2}\cos\frac{2}{x} = 3x^2\sin\frac{2}{x} - 2x\cos\frac{2}{x} $

Ответ: $ y' = 3x^2\sin\frac{2}{x} - 2x\cos\frac{2}{x} $

285. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sin^3 2x, x_0 = \frac{\pi}{12}$;

2) $f(x) = \sqrt{5x^2-2x}, x_0 = 2.$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке. То есть, искомый коэффициент $k$ равен $f'(x_0)$.

Сначала найдём производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\sin^3 2x)' = 3\sin^2 2x \cdot (\sin 2x)'$

Производная от $\sin 2x$ также является производной сложной функции:

$(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x$

Подставим полученное выражение обратно в производную $f'(x)$:

$f'(x) = 3\sin^2 2x \cdot 2\cos 2x = 6\sin^2 2x \cos 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:

$k = f'(\frac{\pi}{12}) = 6\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{12}) \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 6\sin^2(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6})$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$k = 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для корня $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$f'(x) = (\sqrt{5x^2 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} \cdot (5x^2 - 2x)'$

Найдём производную подкоренного выражения:

$(5x^2 - 2x)' = 10x - 2$

Подставим это в выражение для $f'(x)$ и упростим:

$f'(x) = \frac{10x - 2}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} = \frac{2(5x - 1)}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} = \frac{5x - 1}{\sqrt{5x^2 - 2x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = f'(2) = \frac{5 \cdot 2 - 1}{\sqrt{5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2}} = \frac{10 - 1}{\sqrt{5 \cdot 4 - 4}} = \frac{9}{\sqrt{20 - 4}} = \frac{9}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

286. Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 0,2t^5 - 4t^2 + 6$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $x$ — в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени $t_0 = 2с$.

Скорость движения точки $v(t)$ является первой производной от перемещения $x(t)$ по времени $t$. Чтобы найти скорость, нужно найти производную от функции, описывающей закон движения.

Заданный закон движения: $x(t) = 0,2t^5 - 4t^2 + 6$.

Найдем производную этой функции, чтобы получить закон изменения скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = (0,2t^5 - 4t^2 + 6)'$

Применяя правила дифференцирования степенной функции $(u^n)'=n \cdot u^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$v(t) = 0,2 \cdot 5t^{5-1} - 4 \cdot 2t^{2-1} + 0 = t^4 - 8t$

Теперь найдем скорость движения точки в заданный момент времени $t_0 = 2$ с, подставив это значение в полученное выражение для скорости:

$v(2) = 2^4 - 8 \cdot 2 = 16 - 16 = 0$

Так как перемещение измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: $0$ м/с.

287. Материальная точка массой 6 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 + 1$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите импульс $P(t) = mv(t)$ материальной точки в момент времени $t_0 = 3$ с.

Для того чтобы найти импульс материальной точки, необходимо сначала определить её скорость в заданный момент времени. Импульс $P$ вычисляется по формуле $P(t) = m \cdot v(t)$, где $m$ — масса, а $v(t)$ — мгновенная скорость.

1. Нахождение функции скорости $v(t)$
Скорость является первой производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.
Дана функция перемещения: $s(t) = 2t^2 + 1$.
Найдём её производную:
$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 1)' = 2 \cdot (t^2)' + (1)' = 2 \cdot 2t + 0 = 4t$.
Таким образом, скорость точки изменяется по закону $v(t) = 4t$ (м/с).

2. Вычисление скорости в момент времени $t_0 = 3$ с
Подставим значение $t_0 = 3$ с в найденную функцию скорости:
$v(3) = 4 \cdot 3 = 12$ м/с.

3. Вычисление импульса в момент времени $t_0 = 3$ с
Теперь, зная массу точки $m = 6$ кг и её скорость $v(3) = 12$ м/с, мы можем вычислить импульс:
$P(3) = m \cdot v(3) = 6 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} = 72 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: 72 кг·м/с

288. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 4x$, $x_0 = -2$;

2) $f(x) = \frac{1}{x-1}$, $x_0 = 2$;

3) $f(x) = \sqrt{x+2}$, $x_0 = 7$;

4) $f(x) = \sin 3x$, $x_0 = \frac{\pi}{9}$.

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 4x$ в точке $x_0 = -2$ найдем все необходимые значения.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = \frac{1}{6}(-2)^3 + 4(-2) = \frac{1}{6}(-8) - 8 = -\frac{4}{3} - 8 = -\frac{4}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{28}{3}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{6}x^3 + 4x)' = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 + 4 = \frac{1}{2}x^2 + 4$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 = 2 + 4 = 6$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{28}{3} + 6(x - (-2)) = -\frac{28}{3} + 6(x + 2) = -\frac{28}{3} + 6x + 12 = 6x + \frac{36 - 28}{3} = 6x + \frac{8}{3}$.

Ответ: $y = 6x + \frac{8}{3}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{x-1}$ в точке $x_0 = 2$ найдем все необходимые значения для уравнения касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{2-1} = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{x-1})' = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = -\frac{1}{(2-1)^2} = -\frac{1}{1^2} = -1$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + (-1)(x - 2) = 1 - x + 2 = 3 - x$.

Ответ: $y = -x + 3$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{x+2}$ в точке $x_0 = 7$ найдем все необходимые значения для уравнения касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(7) = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x+2})' = ((x+2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x+2)' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(7) = \frac{1}{2\sqrt{7+2}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 3 + \frac{1}{6}(x - 7) = 3 + \frac{1}{6}x - \frac{7}{6} = \frac{18}{6} - \frac{7}{6} + \frac{1}{6}x = \frac{11}{6} + \frac{1}{6}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{6}x + \frac{11}{6}$.

4) Для функции $f(x) = \sin{3x}$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{9}$ найдем все необходимые значения для уравнения касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{9}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin{3x})' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{9}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{9}) = 3\cos(\frac{\pi}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}(x - \frac{\pi}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{9} = \frac{3}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.

289. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \text{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$ в точке его пересечения с осью ординат.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

По условию, касательную нужно провести в точке пересечения графика функции с осью ординат. Абсцисса этой точки равна нулю, то есть $x_0 = 0$.

1. Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(0) = \tg\left(\frac{0}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; \frac{\sqrt{3}}{3})$.

2. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной функции в точке $x_0$. Сначала найдем производную функции $f(x) = \tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(\tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)} \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)' = \frac{1}{3\cos^2\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{1}{3\cos^2\left(\frac{0}{3} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{3\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$.

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'(0) = \frac{1}{3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $f'(x_0) = \frac{4}{9}$ в общее уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{4}{9}(x - 0)$

$y = \frac{4}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $y = \frac{4}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.