Страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Решите уравнение:

1) $ \cos 3x - \sin 3x = 0; $

2) $ \sin 5x - \sqrt{3} \cos 5x = 0; $

3) $ 4\sin \frac{x}{3} - 7\cos \frac{x}{3} = 0; $

4) $ 3\sin^2 \frac{x}{5} - 7\sin \frac{x}{5}\cos \frac{x}{5} + 4\cos^2 \frac{x}{5} = 0. $

1) $cos3x - sin3x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $sin3x$ в правую часть уравнения:

$cos3x = sin3x$

Разделим обе части уравнения на $cos3x$. Это действие является корректным, так как если предположить, что $cos3x = 0$, то из уравнения следует, что и $sin3x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $sin^2(3x) + cos^2(3x) = 1$. Следовательно, $cos3x \neq 0$.

$\frac{sin3x}{cos3x} = 1$

Используя определение тангенса, получаем:

$tan3x = 1$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$3x = arctan(1) + \pi n$, где $n \in Z$

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$

Теперь находим $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

2) $sin5x - \sqrt{3}cos5x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем член с косинусом в правую часть:

$sin5x = \sqrt{3}cos5x$

Разделим обе части на $cos5x$. Как и в предыдущем случае, $cos5x \neq 0$, так как иначе и $sin5x = 0$, что невозможно.

$\frac{sin5x}{cos5x} = \sqrt{3}$

$tan5x = \sqrt{3}$

Находим общее решение для $5x$:

$5x = arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$

$5x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$

Выражаем $x$:

$x = \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.

3) $4sin\frac{x}{3} - 7cos\frac{x}{3} = 0$

Снова имеем однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

$4sin\frac{x}{3} = 7cos\frac{x}{3}$

Делим обе части на $cos\frac{x}{3}$ (так как $cos\frac{x}{3} \neq 0$):

$4\frac{sin\frac{x}{3}}{cos\frac{x}{3}} = 7$

$4tan\frac{x}{3} = 7$

$tan\frac{x}{3} = \frac{7}{4}$

Находим общее решение:

$\frac{x}{3} = arctan(\frac{7}{4}) + \pi n$, где $n \in Z$

Умножаем обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3arctan(\frac{7}{4}) + 3\pi n$, где $n \in Z$

Ответ: $x = 3arctan(\frac{7}{4}) + 3\pi n$, где $n \in Z$.

4) $3sin^2\frac{x}{5} - 7sin\frac{x}{5}cos\frac{x}{5} + 4cos^2\frac{x}{5} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим все члены уравнения на $cos^2\frac{x}{5}$. Мы можем это сделать, так как $cos\frac{x}{5} \neq 0$. Если бы $cos\frac{x}{5} = 0$, то из уравнения следовало бы, что $3sin^2\frac{x}{5} = 0$, то есть $sin\frac{x}{5} = 0$, что невозможно.

$3\frac{sin^2\frac{x}{5}}{cos^2\frac{x}{5}} - 7\frac{sin\frac{x}{5}cos\frac{x}{5}}{cos^2\frac{x}{5}} + 4\frac{cos^2\frac{x}{5}}{cos^2\frac{x}{5}} = 0$

Упрощаем, используя $tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$:

$3tan^2\frac{x}{5} - 7tan\frac{x}{5} + 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $tan\frac{x}{5}$. Сделаем замену: пусть $t = tan\frac{x}{5}$.

$3t^2 - 7t + 4 = 0$

Находим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь возвращаемся к исходной переменной. У нас есть два случая:

Случай 1:

$tan\frac{x}{5} = 1$

$\frac{x}{5} = arctan(1) + \pi n$, где $n \in Z$

$\frac{x}{5} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$

$x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n$, где $n \in Z$

Случай 2:

$tan\frac{x}{5} = \frac{4}{3}$

$\frac{x}{5} = arctan(\frac{4}{3}) + \pi k$, где $k \in Z$

$x = 5arctan(\frac{4}{3}) + 5\pi k$, где $k \in Z$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n, \: x = 5arctan(\frac{4}{3}) + 5\pi k$, где $n, k \in Z$.

252. Решите уравнение:

1) $7\sin^2 \frac{x}{3} - 4\sin \frac{2x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 0;$

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7;$

3) $5\sin^2 3x + 2\sin 6x = 5;$

4) $\frac{2\sin x - \cos x}{\cos x + 3\sin x} = \frac{1}{4};$

5) $1 + \sin 2x - \cos 2x = 0;$

6) $2\sin 3x + 5\cos 3x = 2.$

1) $7\sin^2 \frac{x}{3} - 4\sin \frac{2x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для члена $\sin \frac{2x}{3}$, где $\alpha = \frac{x}{3}$.

$\sin \frac{2x}{3} = 2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$7\sin^2 \frac{x}{3} - 4\left(2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\right) + \cos^2 \frac{x}{3} = 0$

$7\sin^2 \frac{x}{3} - 8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos\frac{x}{3}=0$ решением. Если $\cos\frac{x}{3}=0$, то $\sin^2\frac{x}{3}=1$. Уравнение принимает вид $7 \cdot 1 - 0 + 0 = 0$, то есть $7=0$, что неверно. Следовательно, $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{3}$.

$7\frac{\sin^2 \frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} - 8\frac{\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} + \frac{\cos^2 \frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} = 0$

$7\tan^2 \frac{x}{3} - 8\tan\frac{x}{3} + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{3}$.

$7t^2 - 8t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $7 - 8 + 1 = 0$, то один из корней равен 1. $t_1 = 1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{1}{7}$, откуда $t_2 = \frac{1}{7}$.

Возвращаемся к замене:

а) $\tan\frac{x}{3} = 1 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan\frac{x}{3} = \frac{1}{7} \implies \frac{x}{3} = \arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = 3\arctan\frac{1}{7} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = 3\arctan\frac{1}{7} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ и основное тригонометрическое тождество, представив $7$ как $7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$.

$8\sin^2 2x + 3(2\sin 2x \cos 2x) = 7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$

$8\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x = 7\sin^2 2x + 7\cos^2 2x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x - 7\cos^2 2x = 0$

Это однородное уравнение. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$, и уравнение становится $1=0$, что неверно. Значит, $\cos 2x \neq 0$, и можно разделить уравнение на $\cos^2 2x$.

$\tan^2 2x + 6\tan 2x - 7 = 0$

Пусть $t = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение $t^2 + 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Возвращаемся к замене:

а) $\tan 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 2x = -7 \implies 2x = \arctan(-7) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{1}{2}\arctan 7 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{1}{2}\arctan 7 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $5\sin^2 3x + 2\sin 6x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$ и основное тригонометрическое тождество $5 = 5(\sin^2 3x + \cos^2 3x)$.

$5\sin^2 3x + 2(2\sin 3x \cos 3x) = 5(\sin^2 3x + \cos^2 3x)$

$5\sin^2 3x + 4\sin 3x \cos 3x = 5\sin^2 3x + 5\cos^2 3x$

$4\sin 3x \cos 3x - 5\cos^2 3x = 0$

Вынесем $\cos 3x$ за скобки:

$\cos 3x (4\sin 3x - 5\cos 3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin 3x - 5\cos 3x = 0 \implies 4\sin 3x = 5\cos 3x$. Разделив на $\cos 3x$ (который не может быть равен нулю в этом случае), получаем $4\tan 3x = 5 \implies \tan 3x = \frac{5}{4}$.

$3x = \arctan\frac{5}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{1}{3}\arctan\frac{5}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{1}{3}\arctan\frac{5}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{2\sin x - \cos x}{\cos x + 3\sin x} = \frac{1}{4}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x + 3\sin x \neq 0$.

Используем основное свойство пропорции (умножение крест-накрест):

$4(2\sin x - \cos x) = 1(\cos x + 3\sin x)$

$8\sin x - 4\cos x = \cos x + 3\sin x$

$8\sin x - 3\sin x = \cos x + 4\cos x$

$5\sin x = 5\cos x$

$\sin x = \cos x$

Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$, и можно разделить обе части на $\cos x$.

$\tan x = 1$

Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как если $\tan x = 1$, то $\cos x + 3\sin x = \cos x + 3\cos x = 4\cos x \neq 0$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) $1 + \sin 2x - \cos 2x = 0$

Сгруппируем члены и используем формулы двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

$(1 - \cos 2x) + \sin 2x = 0$

$2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 0$

Вынесем $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x$. Разделив на $\cos x \neq 0$, получаем $\tan x = -1$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) $2\sin 3x + 5\cos 3x = 2$

Применим метод универсальной тригонометрической подстановки. Пусть $t = \tan\frac{3x}{2}$. Тогда $\sin 3x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos 3x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Этот метод требует отдельной проверки случая, когда подстановка не определена, то есть $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, что эквивалентно $3x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\cos 3x = -1$ и $\sin 3x = 0$. Уравнение принимает вид $2(0) + 5(-1) = 2$, или $-5=2$, что неверно. Значит, эти значения $x$ не являются решениями.

Подставим выражения для синуса и косинуса в уравнение:

$2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 2$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2 \neq 0$:

$4t + 5(1-t^2) = 2(1+t^2)$

$4t + 5 - 5t^2 = 2 + 2t^2$

$7t^2 - 4t - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

$t_1 = \frac{4 - 10}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

$t_2 = \frac{4 + 10}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Возвращаемся к замене:

а) $\tan\frac{3x}{2} = 1 \implies \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan\frac{3x}{2} = -\frac{3}{7} \implies \frac{3x}{2} = -\arctan\frac{3}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{2}{3}\arctan\frac{3}{7} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{2}{3}\arctan\frac{3}{7} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

253. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 x = 3 + 2\sin x \sin 3x;$

2) $\sin 2x - 3(\sin x + \cos x) - 3 = 0;$

3) $\sqrt{10 - 9\operatorname{tg} x} = 3\operatorname{tg} x - 2;$

4) $\sqrt{\cos 2x} = \cos x.$

1) Исходное уравнение: $4\sin^2 x = 3 + 2\sin x \sin 3x$.
Используем формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$:
$2\sin x \sin 3x = \cos(3x-x) - \cos(3x+x) = \cos 2x - \cos 4x$.
Подставим в уравнение:
$4\sin^2 x = 3 + \cos 2x - \cos 4x$.
Теперь используем формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:
$4 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = 3 + \cos 2x - \cos 4x$
$2(1 - \cos 2x) = 3 + \cos 2x - \cos 4x$
$2 - 2\cos 2x = 3 + \cos 2x - \cos 4x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\cos 4x - 3\cos 2x - 1 = 0$.
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$:
$(2\cos^2 2x - 1) - 3\cos 2x - 1 = 0$
$2\cos^2 2x - 3\cos 2x - 2 = 0$.
Сделаем замену $y = \cos 2x$. Получим квадратное уравнение:
$2y^2 - 3y - 2 = 0$.
Находим корни: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2$. Этот корень не подходит, так как $|\cos 2x| \le 1$.
$y_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\cos 2x = -1/2$.
$2x = \pm \arccos(-1/2) + 2\pi n, n \in Z$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $\sin 2x - 3(\sin x + \cos x) - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x + \cos x$.
Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.
Отсюда $\sin 2x = t^2 - 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$(t^2 - 1) - 3t - 3 = 0$
$t^2 - 3t - 4 = 0$.
Решаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t_1 = 4$, $t_2 = -1$.
Возвращаемся к замене:
Случай 1: $\sin x + \cos x = 4$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 4 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.
Случай 2: $\sin x + \cos x = -1$.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем две серии решений:
а) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.
б) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{10 - 9\tg x} = 3\tg x - 2$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3\tg x - 2 \ge 0 \\ 10 - 9\tg x = (3\tg x - 2)^2 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $\tg x \ge \frac{2}{3}$.
Решим второе уравнение:
$10 - 9\tg x = 9\tg^2 x - 12\tg x + 4$
$9\tg^2 x - 3\tg x - 6 = 0$
$3\tg^2 x - \tg x - 2 = 0$.
Сделаем замену $y = \tg x$: $3y^2 - y - 2 = 0$.
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{6} = \frac{1+5}{6} = 1$.
$y_2 = \frac{1-5}{6} = -\frac{2}{3}$.
Проверим корни с учетом условия $\tg x \ge \frac{2}{3}$:
$\tg x = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge \frac{2}{3}$.
$\tg x = -2/3$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{2}{3} < \frac{2}{3}$. Это посторонний корень.
Итак, $\tg x = 1$.
$x = \arctan(1) + \pi n, n \in Z$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{\cos 2x} = \cos x$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \cos 2x = \cos^2 x \end{cases}$
Решим второе уравнение, используя формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$2\cos^2 x - 1 = \cos^2 x$
$\cos^2 x = 1$
$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.
Проверим решения с учетом условия $\cos x \ge 0$:
$\cos x = 1$ удовлетворяет условию.
$\cos x = -1$ не удовлетворяет условию.
Следовательно, единственным решением является $\cos x = 1$.
$x = 2\pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$.

254. Найдите все корни уравнения $\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin^2 x = 0$, удовлетворяющие неравенству $-2 < x < 1$.

1. Решение тригонометрического уравнения

Сначала решим уравнение $\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin^2 x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$ \sin x (\cos x + \sqrt{3}\sin x) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

2) $\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$

Решим каждое из них.

Из первого уравнения $\sin x = 0$ находим серию корней:

$$ x = \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Второе уравнение $\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sqrt{3}\sin x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, поскольку нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$$ \frac{\cos x}{\cos x} + \sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} = 0 $$

$$ 1 + \sqrt{3}\tan x = 0 $$

$$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$

Отсюда находим вторую серию корней:

$$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Итак, все корни исходного уравнения задаются двумя сериями: $x = \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n$ — любые целые числа.

2. Отбор корней, удовлетворяющих неравенству

Теперь найдем те корни, которые удовлетворяют неравенству $-2 < x < 1$.

Рассмотрим первую серию корней $x = \pi k$.

Подставим в двойное неравенство:

$$ -2 < \pi k < 1 $$

Разделим все части на $\pi \approx 3.14$:

$$ -\frac{2}{\pi} < k < \frac{1}{\pi} $$

$$ -0.63... < k < 0.31... $$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ корень равен $x = \pi \cdot 0 = 0$.

Рассмотрим вторую серию корней $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Подставим в двойное неравенство:

$$ -2 < -\frac{\pi}{6} + \pi n < 1 $$

Прибавим ко всем частям $\frac{\pi}{6}$:

$$ -2 + \frac{\pi}{6} < \pi n < 1 + \frac{\pi}{6} $$

Разделим все части на $\pi$:

$$ -\frac{2}{\pi} + \frac{1}{6} < n < \frac{1}{\pi} + \frac{1}{6} $$

Подставим приближенные значения:

$$ -0.63... + 0.16... < n < 0.31... + 0.16... $$

$$ -0.47... < n < 0.48... $$

Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $n=0$. При $n=0$ корень равен $x = -\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, только два корня уравнения принадлежат интервалу $(-2; 1)$: это $0$ и $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $0; -\frac{\pi}{6}$.

255. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sin \frac{x}{4}}$

Исходное уравнение:

$$ \sin\frac{x}{4} - \cos\frac{x}{4} = \frac{1}{\sin\frac{x}{4}} $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$$ \sin\frac{x}{4} \neq 0 $$

Это означает, что:

$$ \frac{x}{4} \neq \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

$$ x \neq 4\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

2. Решение уравнения

Умножим обе части уравнения на $ \sin\frac{x}{4} $, так как мы уже установили, что он не равен нулю в ОДЗ:

$$ \sin\frac{x}{4} \left( \sin\frac{x}{4} - \cos\frac{x}{4} \right) = 1 $$

$$ \sin^2\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 1 $$

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и заменим 1 в правой части уравнения:

$$ \sin^2\frac{x}{4} - \sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = \sin^2\frac{x}{4} + \cos^2\frac{x}{4} $$

Вычтем $ \sin^2\frac{x}{4} $ из обеих частей:

$$ -\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = \cos^2\frac{x}{4} $$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$ \cos^2\frac{x}{4} + \sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0 $$

Вынесем общий множитель $ \cos\frac{x}{4} $ за скобки:

$$ \cos\frac{x}{4} \left( \cos\frac{x}{4} + \sin\frac{x}{4} \right) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $ \cos\frac{x}{4} = 0 $

$$ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как при $ \cos\frac{x}{4} = 0 $, значение $ \sin\frac{x}{4} $ равно 1 или -1, то есть не равно нулю.

Случай 2: $ \cos\frac{x}{4} + \sin\frac{x}{4} = 0 $

$$ \sin\frac{x}{4} = -\cos\frac{x}{4} $$

Разделим обе части на $ \cos\frac{x}{4} $ (это возможно, так как если $ \cos\frac{x}{4} = 0 $, то и $ \sin\frac{x}{4} $ должен быть равен нулю, что невозможно одновременно).

$$ \tan\frac{x}{4} = -1 $$

$$ \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$

$$ x = -\pi + 4\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $$

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как при $ \tan\frac{x}{4} = -1 $, $ \sin\frac{x}{4} \neq 0 $.

3. Поиск наибольшего отрицательного корня

Мы получили две серии корней:

1) $ x_n = 2\pi + 4\pi n $

2) $ x_m = -\pi + 4\pi m $

Найдем наибольшие отрицательные корни для каждой серии, подставляя целые значения $n$ и $m$.

Для первой серии $ x_n = 2\pi + 4\pi n $: чтобы корень был отрицательным, необходимо, чтобы $ 2\pi + 4\pi n < 0 $, то есть $ 4\pi n < -2\pi $, или $ n < -1/2 $. Наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, это $ n = -1 $.

$$ x_{-1} = 2\pi + 4\pi(-1) = 2\pi - 4\pi = -2\pi $$

Для второй серии $ x_m = -\pi + 4\pi m $: чтобы корень был отрицательным, необходимо, чтобы $ -\pi + 4\pi m < 0 $, то есть $ 4\pi m < \pi $, или $ m < 1/4 $. Наибольшее целое значение $m$, удовлетворяющее этому условию, это $ m = 0 $.

$$ x_0 = -\pi + 4\pi(0) = -\pi $$

Сравним полученные наибольшие отрицательные корни из обеих серий: $ -2\pi $ и $ -\pi $.

Так как $ -\pi > -2\pi $, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $ -\pi $.

Ответ: $ -\pi $

256. При каких значениях a имеет корни уравнение $\cos^2 x - (3a-1)\cos x + 9a - 12 = 0?$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - (3a - 1)t + 9a - 12 = 0$.

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение относительно $t$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $[-1, 1]$, так как область значений функции $\cos x$ есть $[-1, 1]$.

Сгруппируем члены уравнения, содержащие параметр $a$:

$t^2 + t - 12 - 3at + 9a = 0$

$t^2 + t - 12 - 3a(t - 3) = 0$

Разложим на множители выражение $t^2 + t - 12$. Его корнями являются $t = -4$ и $t = 3$, поэтому $t^2 + t - 12 = (t+4)(t-3)$.

$(t+4)(t-3) - 3a(t-3) = 0$

$(t-3)(t+4 - 3a) = 0$

Отсюда получаем два корня для $t$:

$t_1 = 3$

$t_2 = 3a - 4$

Для того чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо, чтобы хотя бы один из этих корней принадлежал отрезку $[-1, 1]$.

Корень $t_1 = 3$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому уравнение $\cos x = 3$ решений не имеет.

Следовательно, решения существуют только если корень $t_2 = 3a - 4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Запишем и решим соответствующее двойное неравенство:

$-1 \le 3a - 4 \le 1$.

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$-1 + 4 \le 3a \le 1 + 4$.

$3 \le 3a \le 5$.

Разделим все части на 3:

$1 \le a \le \frac{5}{3}$.

Ответ: $a \in [1, \frac{5}{3}]$.