Страница 88 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $\sin 14\alpha$;

2) $\sin \frac{\alpha}{8}$;

3) $\cos 3\alpha$;

4) $\text{tg} \frac{\alpha}{6}$;

5) $\cos (\alpha - \beta)$;

6) $\sin 2$;

7) $\sin \left(50^\circ + \frac{4x}{7}\right)$;

8) $\cos \left(\frac{8\pi}{9} - 2\beta\right)$.

1) sin14α

Для решения этой задачи применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. В данном выражении $\sin(14\alpha)$ аргумент равен $14\alpha$. Представим его в виде двойного угла: $2x = 14\alpha$. Отсюда находим "половинный" угол $x$: $x = \frac{14\alpha}{2} = 7\alpha$. Подставляем значение $x = 7\alpha$ в формулу синуса двойного угла: $\sin(14\alpha) = 2\sin(7\alpha)\cos(7\alpha)$.

Ответ: $2\sin(7\alpha)\cos(7\alpha)$.

2) sin$\frac{\alpha}{8}$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Аргумент функции равен $\frac{\alpha}{8}$. Положим $2x = \frac{\alpha}{8}$. Тогда половинный угол $x$ будет равен $x = \frac{\alpha/8}{2} = \frac{\alpha}{16}$. Подставляем $x = \frac{\alpha}{16}$ в формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{8}\right) = 2\sin\left(\frac{\alpha}{16}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{16}\right)$.

Ответ: $2\sin\left(\frac{\alpha}{16}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{16}\right)$.

3) cos3α

Применим формулу косинуса двойного угла. Она имеет три варианта: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ и $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Используем первую из них. В выражении $\cos(3\alpha)$ аргумент равен $3\alpha$. Представим его как $2x = 3\alpha$. Отсюда "половинный" угол $x$ равен $x = \frac{3\alpha}{2}$. Подставляем $x = \frac{3\alpha}{2}$ в формулу $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$: $\cos(3\alpha) = \cos^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.

4) tg$\frac{\alpha}{6}$

Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 - \text{tg}^2(x)}$. В данном выражении $\text{tg}\left(\frac{\alpha}{6}\right)$ аргумент равен $\frac{\alpha}{6}$. Пусть $2x = \frac{\alpha}{6}$. Тогда половинный угол $x$ равен $x = \frac{\alpha/6}{2} = \frac{\alpha}{12}$. Подставляем $x = \frac{\alpha}{12}$ в формулу: $\text{tg}\left(\frac{\alpha}{6}\right) = \frac{2\text{tg}\left(\frac{\alpha}{12}\right)}{1 - \text{tg}^2\left(\frac{\alpha}{12}\right)}$.

Ответ: $\frac{2\text{tg}\left(\frac{\alpha}{12}\right)}{1 - \text{tg}^2\left(\frac{\alpha}{12}\right)}$.

5) cos(α − β)

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Аргумент функции равен $(\alpha - \beta)$. Положим $2x = \alpha - \beta$. Тогда половинный угол $x$ будет равен $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$. Подставляем $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$ в формулу: $\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

6) sin2

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Аргумент функции равен $2$. Положим $2x = 2$. Тогда половинный угол $x$ равен $x = \frac{2}{2} = 1$ (радиан). Подставляем $x = 1$ в формулу: $\sin(2) = 2\sin(1)\cos(1)$.

Ответ: $2\sin(1)\cos(1)$.

7) sin$\left(50^\circ + \frac{4x}{7}\right)$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$. Аргумент функции равен $50^\circ + \frac{4x}{7}$. Пусть $2A = 50^\circ + \frac{4x}{7}$. Тогда половинный угол $A$ равен $A = \frac{50^\circ + \frac{4x}{7}}{2} = 25^\circ + \frac{2x}{7}$. Подставляем $A = 25^\circ + \frac{2x}{7}$ в формулу: $\sin\left(50^\circ + \frac{4x}{7}\right) = 2\sin\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)\cos\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)$.

Ответ: $2\sin\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)\cos\left(25^\circ + \frac{2x}{7}\right)$.

8) cos$\left(\frac{8\pi}{9} - 2\beta\right)$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2A) = \cos^2(A) - \sin^2(A)$. Аргумент функции равен $\frac{8\pi}{9} - 2\beta$. Пусть $2A = \frac{8\pi}{9} - 2\beta$. Тогда половинный угол $A$ равен $A = \frac{\frac{8\pi}{9} - 2\beta}{2} = \frac{4\pi}{9} - \beta$. Подставляем $A = \frac{4\pi}{9} - \beta$ в формулу: $\cos\left(\frac{8\pi}{9} - 2\beta\right) = \cos^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right) - \sin^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right)$.

Ответ: $\cos^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right) - \sin^2\left(\frac{4\pi}{9} - \beta\right)$.

204. Найдите значение выражения:

1) $2\sin^2 \frac{\pi}{8} - 1;$

2) $\frac{2\operatorname{tg} 75^\circ}{\operatorname{tg}^2 75^\circ - 1};$

3) $(\cos^2 7,5^\circ - \sin^2 7,5^\circ)\sin 15^\circ.$

1) $2\sin^2\frac{\pi}{8} - 1$

Для решения воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Чтобы привести исходное выражение к этой формуле, вынесем $-1$ за скобки:

$2\sin^2\frac{\pi}{8} - 1 = -(1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8})$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$:

$-(1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{2\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$

Значение $\cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, значение выражения равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\frac{2\tg 75^\circ}{\tg^2 75^\circ - 1}$

Для решения воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$.

Обратим внимание, что знаменатель в заданном выражении имеет вид $\tg^2 75^\circ - 1$, что является противоположным по знаку знаменателю в формуле. Вынесем $-1$ в знаменателе за скобки:

$\frac{2\tg 75^\circ}{\tg^2 75^\circ - 1} = \frac{2\tg 75^\circ}{-(1 - \tg^2 75^\circ)} = -\frac{2\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ}$

Теперь выражение соответствует формуле тангенса двойного угла со знаком минус, где $\alpha = 75^\circ$:

$-\frac{2\tg 75^\circ}{1 - \tg^2 75^\circ} = -\tg(2 \cdot 75^\circ) = -\tg(150^\circ)$

Для вычисления значения $\tg(150^\circ)$ воспользуемся формулой приведения $\tg(180^\circ - \beta) = -\tg\beta$:

$\tg(150^\circ) = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg(30^\circ)$

Табличное значение $\tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значит, $\tg(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение в наше выражение:

$-\tg(150^\circ) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

3) $(\cos^2 7.5^\circ - \sin^2 7.5^\circ)\sin 15^\circ$

Рассмотрим выражение в скобках: $\cos^2 7.5^\circ - \sin^2 7.5^\circ$. Это одна из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 7.5^\circ$:

$\cos^2 7.5^\circ - \sin^2 7.5^\circ = \cos(2 \cdot 7.5^\circ) = \cos(15^\circ)$

Теперь исходное выражение упрощается до:

$\cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$

Это выражение является частью формулы синуса двойного угла: $\sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta$. Отсюда следует, что $\sin\beta\cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2\beta)$.

Применим это, где $\beta = 15^\circ$:

$\sin(15^\circ)\cos(15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(30^\circ)$

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Таким образом, окончательное значение выражения:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

205. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 12\alpha}{\cos 6\alpha}$;

2) $\frac{\cos 5\alpha}{\cos \frac{5\alpha}{2} + \sin \frac{5\alpha}{2}}$;

3) $1 - 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)$;

4) $\cos \frac{2\alpha}{3} \sin \frac{2\alpha}{3} - \cos \frac{4\alpha}{3}$;

5) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\alpha}{6} \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{3}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{6}}$;

6) $\frac{\operatorname{tg} 8\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 4\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2 4\alpha}$;

7) $\cos^2 7\alpha + \frac{4\operatorname{tg}^2 \frac{7\alpha}{2}}{\left(1 + \operatorname{tg}^2 \frac{7\alpha}{2}\right)^2}$.

1)

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

В данном случае $x = 6\alpha$, тогда $2x = 12\alpha$.

$\frac{\sin(12\alpha)}{\cos(6\alpha)} = \frac{2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha)}{\cos(6\alpha)}$

Сокращаем $\cos(6\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos(6\alpha) \neq 0$):

$2\sin(6\alpha)$

Ответ: $2\sin(6\alpha)$

2)

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.

В данном случае $x = \frac{5\alpha}{2}$, тогда $2x = 5\alpha$.

$\cos(5\alpha) = \cos^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{5\alpha}{2})$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{\cos(5\alpha)}{\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2})} = \frac{(\cos(\frac{5\alpha}{2}) - \sin(\frac{5\alpha}{2}))(\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2}))}{\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2})}$

Сокращаем общий множитель $(\cos(\frac{5\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2}))$:

$\cos(\frac{5\alpha}{2}) - \sin(\frac{5\alpha}{2})$

Ответ: $\cos(\frac{5\alpha}{2}) - \sin(\frac{5\alpha}{2})$

3)

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Преобразуем выражение:

$1 - 2\cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) = -(2\cos^2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) - 1)$

Пусть $x = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$. Тогда выражение в скобках равно $\cos(2x)$.

$2x = 2(\frac{\pi}{4} + 3\alpha) = \frac{\pi}{2} + 6\alpha$.

Получаем: $-\cos(\frac{\pi}{2} + 6\alpha)$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + y) = -\sin(y)$:

$-(-\sin(6\alpha)) = \sin(6\alpha)$

Ответ: $\sin(6\alpha)$

4)

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, из которой следует, что $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Сгруппируем первые два множителя:

$\cos(\frac{2\alpha}{3})\sin(\frac{2\alpha}{3}) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{2\alpha}{3}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{4\alpha}{3})$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{1}{2}\sin(\frac{4\alpha}{3})\cos(\frac{4\alpha}{3})$

Применим ту же формулу еще раз:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{4\alpha}{3}) = \frac{1}{4}\sin(\frac{8\alpha}{3})$

Ответ: $\frac{1}{4}\sin(\frac{8\alpha}{3})$

5)

Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 - \text{tg}^2(x)}$ и тождество $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)}$.

Перепишем выражение:

$\frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})\text{ctg}(\frac{\alpha}{3})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6})} = \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})}{\text{tg}(\frac{\alpha}{3})(1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6}))} = \frac{1}{\text{tg}(\frac{\alpha}{3})} \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6})}$

Из формулы тангенса двойного угла, если $x = \frac{\alpha}{6}$, то $2x = \frac{\alpha}{3}$, и мы имеем $\frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{6})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{6})} = \frac{1}{2}\text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{6}) = \frac{1}{2}\text{tg}(\frac{\alpha}{3})$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{\text{tg}(\frac{\alpha}{3})} \cdot \frac{1}{2}\text{tg}(\frac{\alpha}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6)

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2(x)}{1 + \text{tg}^2(x)}$.

В данном случае $x=4\alpha$, тогда $2x=8\alpha$.

Следовательно, $\frac{1 - \text{tg}^2(4\alpha)}{1 + \text{tg}^2(4\alpha)} = \cos(8\alpha)$.

Подставим это в исходное выражение:

$\text{tg}(8\alpha) \cdot \cos(8\alpha)$

Так как $\text{tg}(8\alpha) = \frac{\sin(8\alpha)}{\cos(8\alpha)}$, получаем:

$\frac{\sin(8\alpha)}{\cos(8\alpha)} \cdot \cos(8\alpha) = \sin(8\alpha)$

Ответ: $\sin(8\alpha)$

7)

Рассмотрим второе слагаемое. Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $\sin(2x) = \frac{2\text{tg}(x)}{1 + \text{tg}^2(x)}$.

Второе слагаемое можно переписать как:

$\frac{4\text{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})}{(1 + \text{tg}^2(\frac{7\alpha}{2}))^2} = \left(\frac{2\text{tg}(\frac{7\alpha}{2})}{1 + \text{tg}^2(\frac{7\alpha}{2})}\right)^2$

Пусть $x = \frac{7\alpha}{2}$, тогда $2x = 7\alpha$. Выражение в скобках равно $\sin(2x) = \sin(7\alpha)$.

Таким образом, второе слагаемое равно $\sin^2(7\alpha)$.

Все выражение принимает вид:

$\cos^2(7\alpha) + \sin^2(7\alpha)$

По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2(y) + \sin^2(y) = 1$.

$\cos^2(7\alpha) + \sin^2(7\alpha) = 1$

Ответ: $1$

206. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 + \cos 4\beta$;

2) $1 - \cos \frac{\gamma}{3}$;

3) $1 + \sin \frac{4\pi}{9}$;

4) $1 - \sin 8\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 + \cos 4\beta$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
В нашем случае $2x = 4\beta$, следовательно, $x = 2\beta$.
Подставив это в формулу, получаем:
$1 + \cos 4\beta = 2\cos^2(2\beta)$.
Ответ: $2\cos^2(2\beta)$.

2) Для преобразования выражения $1 - \cos \frac{\gamma}{3}$ воспользуемся другой формулой понижения степени, также являющейся следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В данном случае $2x = \frac{\gamma}{3}$, откуда $x = \frac{\gamma}{6}$.
Применяя формулу, получаем:
$1 - \cos \frac{\gamma}{3} = 2\sin^2(\frac{\gamma}{6})$.
Ответ: $2\sin^2(\frac{\gamma}{6})$.

3) Чтобы представить в виде произведения выражение $1 + \sin\frac{4\pi}{9}$, сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы заменить синус на косинус: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$1 + \sin\frac{4\pi}{9} = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{9}) = 1 + \cos(\frac{9\pi - 8\pi}{18}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{18})$.
Теперь применим формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
Здесь $2x = \frac{\pi}{18}$, значит $x = \frac{\pi}{36}$.
Таким образом, получаем:
$1 + \cos(\frac{\pi}{18}) = 2\cos^2(\frac{\pi}{36})$.
Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{36})$.

4) Для выражения $1 - \sin 8\alpha$ поступим аналогично предыдущему пункту. Сначала заменим синус на косинус с помощью формулы приведения: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$1 - \sin 8\alpha = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 8\alpha)$.
Далее применим формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В нашем случае $2x = \frac{\pi}{2} - 8\alpha$, следовательно, $x = \frac{\frac{\pi}{2} - 8\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} - 4\alpha$.
В результате получаем:
$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 8\alpha) = 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)$.
Ответ: $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)$.

207. Понизьте степень выражения:

1) $ \sin^2 5\alpha; $

2) $ \cos^2 12x; $

3) $ \cos^2 \left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right); $

4) $ \sin^2 \left(\frac{\pi}{10} - \beta\right). $

Для понижения степени тригонометрических выражений используются формулы понижения степени, которые являются следствиями формул косинуса двойного угла:

• $sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$
• $cos^2(\alpha) = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

1) Понизить степень выражения $sin^2(5\alpha)$.

Применим формулу понижения степени для синуса: $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

В нашем случае аргумент $x = 5\alpha$. Следовательно, двойной аргумент будет $2x = 2 \cdot 5\alpha = 10\alpha$.

Подставляем это значение в формулу:

$sin^2(5\alpha) = \frac{1 - cos(10\alpha)}{2}$

Ответ: $\frac{1 - cos(10\alpha)}{2}$

2) Понизить степень выражения $cos^2(12x)$.

Применим формулу понижения степени для косинуса: $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Здесь аргумент $x = 12x$. Двойной аргумент будет $2 \cdot 12x = 24x$.

Подставляем в формулу:

$cos^2(12x) = \frac{1 + cos(24x)}{2}$

Ответ: $\frac{1 + cos(24x)}{2}$

3) Понизить степень выражения $cos^2(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ)$.

Используем формулу $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Аргумент $x = \frac{\alpha}{2} + 20^\circ$. Удваиваем его: $2x = 2 \cdot (\frac{\alpha}{2} + 20^\circ) = \alpha + 40^\circ$.

Подставляем в формулу:

$cos^2(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ) = \frac{1 + cos(\alpha + 40^\circ)}{2}$

Ответ: $\frac{1 + cos(\alpha + 40^\circ)}{2}$

4) Понизить степень выражения $sin^2(\frac{\pi}{10} - \beta)$.

Используем формулу $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

Аргумент $x = \frac{\pi}{10} - \beta$. Удваиваем его: $2x = 2 \cdot (\frac{\pi}{10} - \beta) = \frac{2\pi}{10} - 2\beta = \frac{\pi}{5} - 2\beta$.

Подставляем в формулу:

$sin^2(\frac{\pi}{10} - \beta) = \frac{1 - cos(\frac{\pi}{5} - 2\beta)}{2}$

Ответ: $\frac{1 - cos(\frac{\pi}{5} - 2\beta)}{2}$

208. Докажите тождество:

1) $2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1;$

2) $\operatorname{tg} \alpha(1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha;$

3) $\frac{1 + \cos 2\alpha - \cos \alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha.$

1) Докажем тождество $2\cos^2\alpha - \cos2\alpha = 1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$2\cos^2\alpha - \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1)$

Теперь раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобки на противоположные:

$2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$

После приведения подобных слагаемых левая часть равенства стала равна $1$, что соответствует правой части. Таким образом, $1 = 1$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\tg\alpha(1 + \cos2\alpha) = \sin2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу для косинуса двойного угла, из которой следует, что $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$. Также воспользуемся определением тангенса: $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$\tg\alpha(1 + \cos2\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (2\cos^2\alpha)$

Сократим дробь на $\cos\alpha$ (это возможно при условии, что $\cos\alpha \neq 0$, при котором $\tg\alpha$ определен):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot 2\cos^2\alpha = \sin\alpha \cdot 2\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Полученное выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$ является формулой синуса двойного угла: $\sin2\alpha$.

В результате мы преобразовали левую часть к виду правой части: $\sin2\alpha = \sin2\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{1 + \cos2\alpha - \cos\alpha}{\sin2\alpha - \sin\alpha} = \ctg\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого отдельно преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Начнем с числителя: $1 + \cos2\alpha - \cos\alpha$. Используем формулу $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.

$1 + \cos2\alpha - \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha$

Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:

$\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Теперь преобразуем знаменатель: $\sin2\alpha - \sin\alpha$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\sin2\alpha - \sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки:

$\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)}$

Сократим общий множитель $(2\cos\alpha - 1)$, при условии, что он не равен нулю (т.е. $\cos\alpha \neq \frac{1}{2}$), и знаменатель не равен нулю (т.е. $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Данное выражение по определению является котангенсом: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой: $\ctg\alpha = \ctg\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.