Страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Решите уравнение:

1) $ \cos 6x = 1; $

2) $ \cos 4x = - \frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos \frac{9x}{5} = 0; $

4) $ \cos \left( 7x - \frac{\pi}{4} \right) = -1; $

5) $ \cos (2 - 5x) = \frac{1}{2}; $

6) $ \cos \frac{3\pi x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

7) $ \cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{\pi}{3}; $

8) $ \cos (6x - 5) = \frac{\pi}{8}; $

9) $ 2\cos \left( 7x - \frac{\pi}{8} \right) + \sqrt{2} = 0; $

10) $ 3\cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) - 1 = 0. $

1) Дано уравнение $cos(6x) = 1$. Это частный случай решения тригонометрического уравнения, когда косинус равен 1. Аргумент косинуса должен быть равен $2\pi k$, где $k$ – любое целое число.
$6x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$:
$x = \frac{2\pi k}{6}$
$x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $cos(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 4x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$4x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 4:
$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4}$
$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\cos(\frac{9x}{5}) = 0$. Это частный случай, когда косинус равен 0. Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.
$\frac{9x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на 5/9, чтобы найти $x$:
$x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) \cdot \frac{5}{9}$
$x = \frac{5\pi}{18} + \frac{5\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{5\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\cos(7x - \frac{\pi}{4}) = -1$. Это частный случай, когда косинус равен -1. Аргумент косинуса должен быть равен $\pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.
$7x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$7x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$7x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на 7:
$x = \frac{5\pi}{28} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5\pi}{28} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $\cos(2 - 5x) = \frac{1}{2}$. Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. $\cos(2 - 5x) = \cos(-(5x - 2)) = \cos(5x - 2)$. Уравнение принимает вид: $\cos(5x - 2) = \frac{1}{2}$.
Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$. Здесь $t = 5x - 2$ и $a = \frac{1}{2}$. $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
$5x - 2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Перенесем -2 в правую часть:
$5x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Разделим обе части на 5:
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\cos(\frac{3\pi x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$. Здесь $t = \frac{3\pi x}{4}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{3\pi x}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на $\frac{4}{3\pi}$:
$x = (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cdot \frac{4}{3\pi}$
$x = \pm \frac{4\pi}{18\pi} + \frac{8\pi k}{3\pi}$
$x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

7) Дано уравнение $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}$. Область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$. Правая часть уравнения равна $-\frac{\pi}{3}$. Оценим это значение:
$\pi \approx 3.14159$, поэтому $-\frac{\pi}{3} \approx -1.047$.
Так как $-\frac{\pi}{3} < -1$, это значение не входит в область значений косинуса. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Решений нет.

8) Дано уравнение $\cos(6x - 5) = \frac{\pi}{8}$. Проверим, имеет ли уравнение решение. Правая часть равна $\frac{\pi}{8}$.
$\pi \approx 3.14159$, поэтому $\frac{\pi}{8} \approx 0.3927$.
Так как $-1 \le \frac{\pi}{8} \le 1$, уравнение имеет решения. Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$.
$6x - 5 = \pm \arccos(\frac{\pi}{8}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Перенесем -5 в правую часть:
$6x = 5 \pm \arccos(\frac{\pi}{8}) + 2\pi k$
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}\arccos(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}\arccos(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

9) Дано уравнение $2\cos(7x - \frac{\pi}{8}) + \sqrt{2} = 0$. Сначала выразим косинус:
$2\cos(7x - \frac{\pi}{8}) = -\sqrt{2}$
$\cos(7x - \frac{\pi}{8}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$. Здесь $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.
$7x - \frac{\pi}{8} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$7x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$7x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{6\pi}{8} + 2\pi k$
Разобьем на два случая:
1) $7x = \frac{\pi + 6\pi}{8} + 2\pi k = \frac{7\pi}{8} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{7}$
2) $7x = \frac{\pi - 6\pi}{8} + 2\pi k = -\frac{5\pi}{8} + 2\pi k \implies x = -\frac{5\pi}{56} + \frac{2\pi k}{7}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{7}, x = -\frac{5\pi}{56} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

10) Дано уравнение $3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$. Сначала выразим косинус:
$3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3}$
Так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, уравнение имеет решения. Применим общую формулу $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$.
$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{3} \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

224. Решите уравнение:

1) $ \sin^2 3x = \frac{3}{4} $

2) $ \cos^2 \frac{x}{7} = \frac{1}{2} $

3) $ 8\cos^2 x - 3 = 0 $

1) Исходное уравнение: $sin^2 3x = \frac{3}{4}$.
Для решения данного типа уравнений удобно использовать формулу понижения степени: $sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.
Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$:
$\frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1 - cos(6x)}{2} = \frac{3}{4}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 - cos(6x) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Выразим $cos(6x)$:
$cos(6x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
Теперь мы имеем простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
В нашем случае $t = 6x$ и $a = -\frac{1}{2}$.
$6x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$
Поскольку $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$6x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \pm \frac{2\pi}{3 \cdot 6} + \frac{2\pi n}{6}$
$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $cos^2 \frac{x}{7} = \frac{1}{2}$.
Используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2 \alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.
В данном уравнении $\alpha = \frac{x}{7}$. Подставляем в формулу:
$\frac{1 + cos(2 \cdot \frac{x}{7})}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{1 + cos(\frac{2x}{7})}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 + cos(\frac{2x}{7}) = 1$
$cos(\frac{2x}{7}) = 0$
Мы получили частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Применительно к нашему случаю, где $t = \frac{2x}{7}$:
$\frac{2x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{7}{2}$:
$x = \frac{7}{2} \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi n)$
$x = \frac{7\pi}{4} + \frac{7\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{7\pi}{4} + \frac{7\pi n}{2}$, $n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $8cos^2 x - 3 = 0$.
Сначала выразим $cos^2 x$ из уравнения:
$8cos^2 x = 3$
$cos^2 x = \frac{3}{8}$
Применим формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{3}{8}$
Умножим обе части на 2:
$1 + cos(2x) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Выразим $cos(2x)$:
$cos(2x) = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$
Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.
В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{4}$.
$2x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos(-\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos(-\frac{1}{4}) + \pi n$, $n \in Z$.

225. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения, сначала решим его в общем виде.

Исходное уравнение: $ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos(t) = a $ записывается как $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В данном случае $ t = x - \frac{\pi}{4} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдём значение арккосинуса: $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Теперь подставим это значение в общую формулу решения: $ x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $

Рассмотрим два случая для нахождения всех корней уравнения.

1. Cо знаком "+": $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $

Выразим $ x $, перенеся $ \frac{\pi}{4} $ в правую часть: $ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Приведём дроби к общему знаменателю 12: $ x = \frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi k $ $ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. Cо знаком "-": $ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $

Выразим $ x $: $ x = -\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Приведём дроби к общему знаменателю 12: $ x = -\frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi k $ $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдём наименьший положительный корень, перебирая значения $ k $ для каждой серии корней.

Для первой серии $ x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi k $:

• при $ k = 0 $, $ x = \frac{13\pi}{12} $. Это положительное число.
• при $ k = -1 $, $ x = \frac{13\pi}{12} - 2\pi = \frac{13\pi - 24\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} $. Это отрицательное число.

Наименьший положительный корень в этой серии — $ \frac{13\pi}{12} $.

Для второй серии $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k $:

• при $ k = 0 $, $ x = -\frac{7\pi}{12} $. Это отрицательное число.
• при $ k = 1 $, $ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{-7\pi + 24\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $. Это положительное число.

Наименьший положительный корень в этой серии — $ \frac{17\pi}{12} $.

Сравним найденные наименьшие положительные корни из двух серий: $ \frac{13\pi}{12} $ и $ \frac{17\pi}{12} $.

$ \frac{13\pi}{12} < \frac{17\pi}{12} $

Следовательно, наименьший положительный корень уравнения — это $ \frac{13\pi}{12} $.

Ответ: $ \frac{13\pi}{12} $

226. Сколько корней уравнения $\cos \left( 4x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежат промежутку $\left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right]$?

Для решения задачи сначала найдём общее решение тригонометрического уравнения, а затем отберём те корни, которые попадают в заданный промежуток.

Дано уравнение: $\cos(4x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = 4x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$4x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая для нахождения двух серий корней.

Первая серия корней:

$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Вторая серия корней:

$4x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = 0 + 2\pi k$

$x_2 = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

Отбор корней для первой серии $x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$:

Решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{12} \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{12} \le \frac{1}{12} + \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}$

Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:

$-\frac{1}{12} - \frac{1}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{4}{12} - \frac{1}{12}$

$-\frac{2}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{12}$

$-\frac{1}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{4}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{2}{6} \le k \le \frac{2}{4} \implies -\frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{2}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{12}$.

Отбор корней для второй серии $x_2 = \frac{\pi k}{2}$:

Решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{12} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{2}{12} \le k \le \frac{2}{3} \implies -\frac{1}{6} \le k \le \frac{2}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ получаем корень $x = 0$.

Таким образом, на заданном промежутке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$ лежат два различных корня: $x = \frac{\pi}{12}$ и $x = 0$.

Ответ: 2.

227. Найдите все корни уравнения $\cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16}$.

Сначала решим уравнение $ \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ в общем виде.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos(t) = a $. Его решение записывается в виде $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 4x - \frac{\pi}{3} $ и $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Мы знаем, что $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Следовательно, получаем:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Разобьем это на два отдельных случая.

Случай 1:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть:

$ 4x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ 4x = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + 2\pi k $

$ 4x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k $

Разделим обе части уравнения на 4:

$ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $

Случай 2:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

Перенесем $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть:

$ 4x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ 4x = -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + 2\pi k $

$ 4x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k $

Разделим обе части уравнения на 4:

$ x = \frac{\pi}{48} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $

Теперь нам нужно найти все корни, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16} $. Для этого подставим полученные серии корней в это неравенство и найдем подходящие целые значения $ k $.

Для удобства сравнения приведем границы интервала к знаменателю 48:

$ -\frac{\pi}{16} = -\frac{3\pi}{48} $

$ \frac{7\pi}{16} = \frac{21\pi}{48} $

Таким образом, искомый интервал: $ -\frac{3\pi}{48} < x < \frac{21\pi}{48} $.

Отбор корней для первой серии $ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} < \frac{21\pi}{48} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ и умножим на 48:

$ -3 < 7 + 24k < 21 $

Вычтем 7 из всех частей:

$ -10 < 24k < 14 $

Разделим на 24:

$ -\frac{10}{24} < k < \frac{14}{24} $ или $ -\frac{5}{12} < k < \frac{7}{12} $

Единственное целое число $ k $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ k = 0 $.

При $ k = 0 $ получаем корень: $ x = \frac{7\pi}{48} $.

Отбор корней для второй серии $ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} $:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{\pi}{48} + \frac{\pi k}{2} < \frac{21\pi}{48} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ и умножим на 48:

$ -3 < 1 + 24k < 21 $

Вычтем 1 из всех частей:

$ -4 < 24k < 20 $

Разделим на 24:

$ -\frac{4}{24} < k < \frac{20}{24} $ или $ -\frac{1}{6} < k < \frac{5}{6} $

Единственное целое число $ k $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ k = 0 $.

При $ k = 0 $ получаем корень: $ x = \frac{\pi}{48} $.

В итоге, в заданном интервале находятся два корня.

Ответ: $ \frac{\pi}{48}, \frac{7\pi}{48} $.

228. При каких значениях $a$ уравнение имеет решения:

1) $\cos x = a - 5$;

2) $\cos x = a^2 - 6a + 10$;

3) $(a + 3)\cos x = a - 4?$

Основное условие, при котором уравнение вида $cos x = f(a)$ имеет решения, заключается в том, что значение функции $f(a)$ должно находиться в области значений функции косинуса, то есть $f(a) \in [-1; 1]$. Это равносильно двойному неравенству $-1 \le f(a) \le 1$.

1) $cos x = a - 5$

Уравнение имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим двойное неравенство:
$-1 \le a - 5 \le 1$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $a$:
$-1 + 5 \le a - 5 + 5 \le 1 + 5$
$4 \le a \le 6$
Следовательно, уравнение имеет решения при $a \in [4; 6]$.

Ответ: $a \in [4; 6]$.

2) $cos x = a^2 - 6a + 10$

Аналогично первому пункту, правая часть уравнения должна принадлежать отрезку $[-1; 1]$:
$-1 \le a^2 - 6a + 10 \le 1$
Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - 6a + 10 \ge -1 \\ a^2 - 6a + 10 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$a^2 - 6a + 11 \ge 0$
Выделим полный квадрат в левой части:
$(a^2 - 6a + 9) + 2 \ge 0$
$(a - 3)^2 + 2 \ge 0$
Так как $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $(a - 3)^2 + 2$ всегда будет больше или равно 2, а значит, неравенство выполняется для всех $a \in (-\infty; +\infty)$.
Решим второе неравенство системы:
$a^2 - 6a + 9 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(a - 3)^2 \le 0$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому единственное возможное решение — это когда он равен нулю:
$(a - 3)^2 = 0 \implies a - 3 = 0 \implies a = 3$
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

3) $(a + 3)cos x = a - 4$

Рассмотрим два случая.
Случай 1: Коэффициент при $cos x$ равен нулю.
$a + 3 = 0 \implies a = -3$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$(-3 + 3)cos x = -3 - 4$
$0 \cdot cos x = -7$
$0 = -7$
Получено неверное равенство, значит при $a = -3$ уравнение решений не имеет.
Случай 2: Коэффициент при $cos x$ не равен нулю.
$a + 3 \ne 0 \implies a \ne -3$.
В этом случае можно выразить $cos x$:
$cos x = \frac{a - 4}{a + 3}$
Уравнение будет иметь решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$:
$-1 \le \frac{a - 4}{a + 3} \le 1$
Решим эту систему неравенств:
$\begin{cases} \frac{a - 4}{a + 3} \ge -1 \\ \frac{a - 4}{a + 3} \le 1 \end{cases}$
Решение первого неравенства:
$\frac{a - 4}{a + 3} + 1 \ge 0 \implies \frac{a - 4 + a + 3}{a + 3} \ge 0 \implies \frac{2a - 1}{a + 3} \ge 0$
Методом интервалов получаем: $a \in (-\infty; -3) \cup [0.5; +\infty)$.
Решение второго неравенства:
$\frac{a - 4}{a + 3} - 1 \le 0 \implies \frac{a - 4 - (a + 3)}{a + 3} \le 0 \implies \frac{-7}{a + 3} \le 0$
Дробь будет неположительной, если ее знаменатель будет положительным (так как числитель -7 отрицателен):
$a + 3 > 0 \implies a > -3$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $a \in ((-\infty; -3) \cup [0.5; +\infty)) \cap (-3; +\infty)$.
Пересечением является промежуток $a \in [0.5; +\infty)$.

Ответ: $a \in [0.5; +\infty)$.

229. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]$ в зависимости от значения $a$.

Для определения количества корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]$, проанализируем поведение и область значений функции $y=\cos x$ на данном отрезке.

Функция $\cos x$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$ возрастает от $\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ до $\cos(0)=1$.
На отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ функция $\cos x$ убывает от $\cos(0)=1$ до $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, область значений функции на всём промежутке $[-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]$ составляет отрезок $[-\frac{1}{2}; 1]$.

Количество корней уравнения равно числу пересечений графика $y=\cos x$ с горизонтальной прямой $y=a$. Разобьем решение на случаи в зависимости от количества корней.

Уравнение не имеет корней
Если значение $a$ лежит вне области значений функции на данном промежутке, то есть при $a < -\frac{1}{2}$ или $a > 1$, прямая $y=a$ не пересекает график функции, и уравнение не имеет решений.
Ответ: при $a \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$ корней нет.

Уравнение имеет один корень
Уравнение имеет один корень в следующих случаях:
1) Если $a=1$. Прямая $y=1$ касается графика в его точке максимума $x=0$. Это единственный корень.
2) Если $-\frac{1}{2} \le a < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Прямая $y=a$ пересекает график только на участке возрастания $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$, так как на участке убывания $[0; \frac{\pi}{6}]$ все значения функции не меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. При $a=-\frac{1}{2}$ корень один: $x=-\frac{2\pi}{3}$.
Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $a \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup \{1\}$.
Ответ: при $a \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup \{1\}$ — один корень.

Уравнение имеет два корня
Уравнение имеет два корня, если прямая $y=a$ пересекает и участок возрастания, и участок убывания. Это происходит, когда значение $a$ принадлежит пересечению областей значений на этих участках (за исключением точки максимума), то есть когда $\frac{\sqrt{3}}{2} \le a < 1$.
При $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ корни $x=-\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{6}$.
При $\frac{\sqrt{3}}{2} < a < 1$ один корень лежит на интервале $(-\frac{2\pi}{3}, 0)$, а другой — на интервале $(0, \frac{\pi}{6})$.
Ответ: при $a \in [\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$ — два корня.

230. Определите графически количество корней уравнения:

1) $\cos x = -2x;$

2) $\cos x = 4x^2 - 1.$

Для определения количества корней уравнения графическим методом, необходимо представить левую и правую части уравнения в виде отдельных функций, построить их графики в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения и будет равно количеству корней уравнения.

1) cos x = -2x

Рассмотрим две функции: $y = \cos x$ и $y = -2x$.

1. График функции $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$.

2. График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$) и точку $(1, -2)$.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

Проанализируем графики:

• Значения функции $y = \cos x$ лежат в диапазоне от -1 до 1.
• Рассмотрим, при каких значениях $x$ значения функции $y = -2x$ также попадают в этот диапазон.
• $-1 \le -2x \le 1$. Разделив на -2 (и изменив знаки неравенства), получим: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
• Это означает, что пересечение графиков возможно только на отрезке $x \in [-0.5, 0.5]$.
• При $x > 0$, значения $\cos x$ положительны (на интервале $(0, \pi/2)$), а значения $-2x$ отрицательны. Пересечений нет.
• При $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$, а $y = -2(0) = 0$. Пересечения нет.
• При $x < 0$ (в частности, на интервале $[-0.5, 0)$), обе функции принимают положительные значения. В точке $x=0$ график косинуса находится выше прямой ($1 > 0$). В точке $x=-0.5$ график прямой находится выше графика косинуса, так как $y=-2(-0.5)=1$, а $y=\cos(-0.5) < 1$. Так как обе функции непрерывны, они должны пересечься в одной точке на интервале $(-0.5, 0)$.

Из графиков видно, что они пересекаются только в одной точке.

Ответ: 1 корень.

2) cos x = 4x² - 1

Рассмотрим две функции: $y = \cos x$ и $y = 4x^2 - 1$.

1. График функции $y = \cos x$ — косинусоида.

2. График функции $y = 4x^2 - 1$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $4x^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 = 1/4$, $x = \pm 1/2$.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

Проанализируем графики:

• Обе функции, $y = \cos x$ и $y = 4x^2 - 1$, являются четными, так как $\cos(-x) = \cos x$ и $4(-x)^2 - 1 = 4x^2 - 1$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси Oy. Следовательно, если есть корень $x_0 \neq 0$, то обязательно есть и корень $-x_0$.
• В точке $x=0$ имеем: $y = \cos(0) = 1$ и $y = 4(0)^2 - 1 = -1$. Точки пересечения при $x=0$ нет.
• Значения функции $y = \cos x$ не превышают 1. Найдем, при каких $x$ значения параболы не превышают 1: $4x^2 - 1 \le 1 \implies 4x^2 \le 2 \implies x^2 \le 1/2 \implies -\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$. Значит, пересечения возможны только в этом интервале.
• В точке $x = 1/2$, $y=4(1/2)^2-1=0$, а $y=\cos(1/2) > 0$. График косинуса выше параболы.
• В точке $x = 1/\sqrt{2}$, $y=4(1/\sqrt{2})^2-1=1$, а $y=\cos(1/\sqrt{2}) < 1$. График параболы выше графика косинуса.
• Поскольку на интервале $(0, 1/\sqrt{2})$ в одной точке парабола ниже косинусоиды, а в другой — выше, и обе функции непрерывны, они должны пересечься хотя бы один раз на этом интервале.
• Из-за симметрии относительно оси Oy, такое же пересечение будет и на интервале $(-1/\sqrt{2}, 0)$.

Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.