Номер 230, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Определите графически количество корней уравнения:

1) $\cos x = -2x;$

2) $\cos x = 4x^2 - 1.$

Для определения количества корней уравнения графическим методом, необходимо представить левую и правую части уравнения в виде отдельных функций, построить их графики в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения и будет равно количеству корней уравнения.

1) cos x = -2x

Рассмотрим две функции: $y = \cos x$ и $y = -2x$.

1. График функции $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$.

2. График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$) и точку $(1, -2)$.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

Проанализируем графики:

• Значения функции $y = \cos x$ лежат в диапазоне от -1 до 1.
• Рассмотрим, при каких значениях $x$ значения функции $y = -2x$ также попадают в этот диапазон.
• $-1 \le -2x \le 1$. Разделив на -2 (и изменив знаки неравенства), получим: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
• Это означает, что пересечение графиков возможно только на отрезке $x \in [-0.5, 0.5]$.
• При $x > 0$, значения $\cos x$ положительны (на интервале $(0, \pi/2)$), а значения $-2x$ отрицательны. Пересечений нет.
• При $x = 0$, $y = \cos(0) = 1$, а $y = -2(0) = 0$. Пересечения нет.
• При $x < 0$ (в частности, на интервале $[-0.5, 0)$), обе функции принимают положительные значения. В точке $x=0$ график косинуса находится выше прямой ($1 > 0$). В точке $x=-0.5$ график прямой находится выше графика косинуса, так как $y=-2(-0.5)=1$, а $y=\cos(-0.5) < 1$. Так как обе функции непрерывны, они должны пересечься в одной точке на интервале $(-0.5, 0)$.

Из графиков видно, что они пересекаются только в одной точке.

Ответ: 1 корень.

2) cos x = 4x² - 1

Рассмотрим две функции: $y = \cos x$ и $y = 4x^2 - 1$.

1. График функции $y = \cos x$ — косинусоида.

2. График функции $y = 4x^2 - 1$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $4x^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 = 1/4$, $x = \pm 1/2$.

Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.

Проанализируем графики:

• Обе функции, $y = \cos x$ и $y = 4x^2 - 1$, являются четными, так как $\cos(-x) = \cos x$ и $4(-x)^2 - 1 = 4x^2 - 1$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси Oy. Следовательно, если есть корень $x_0 \neq 0$, то обязательно есть и корень $-x_0$.
• В точке $x=0$ имеем: $y = \cos(0) = 1$ и $y = 4(0)^2 - 1 = -1$. Точки пересечения при $x=0$ нет.
• Значения функции $y = \cos x$ не превышают 1. Найдем, при каких $x$ значения параболы не превышают 1: $4x^2 - 1 \le 1 \implies 4x^2 \le 2 \implies x^2 \le 1/2 \implies -\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$. Значит, пересечения возможны только в этом интервале.
• В точке $x = 1/2$, $y=4(1/2)^2-1=0$, а $y=\cos(1/2) > 0$. График косинуса выше параболы.
• В точке $x = 1/\sqrt{2}$, $y=4(1/\sqrt{2})^2-1=1$, а $y=\cos(1/\sqrt{2}) < 1$. График параболы выше графика косинуса.
• Поскольку на интервале $(0, 1/\sqrt{2})$ в одной точке парабола ниже косинусоиды, а в другой — выше, и обе функции непрерывны, они должны пересечься хотя бы один раз на этом интервале.
• Из-за симметрии относительно оси Oy, такое же пересечение будет и на интервале $(-1/\sqrt{2}, 0)$.

Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.