Номер 234, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{9\pi x}{4} = 0;$

2) $\sin(7\pi \sqrt{x}) = 1;$

3) $\sin \frac{3\pi x^2}{4} = -1.$

1) Дано уравнение $ \sin\frac{9\pi x}{4} = 0 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $ \sin(A) = 0 $ имеет вид $ A = \pi n $, где $ n $ — любое целое число.
В данном случае $ A = \frac{9\pi x}{4} $, поэтому получаем:
$ \frac{9\pi x}{4} = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Для нахождения $ x $ разделим обе части уравнения на $ \pi $:
$ \frac{9x}{4} = n $
Теперь умножим обе части на 4 и разделим на 9:
$ 9x = 4n $
$ x = \frac{4n}{9} $
Ответ: $ x = \frac{4n}{9}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение $ \sin(7\pi\sqrt{x}) = 1 $.
Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ x \ge 0 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $ \sin(A) = 1 $ имеет вид $ A = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.
В данном случае $ A = 7\pi\sqrt{x} $, поэтому:
$ 7\pi\sqrt{x} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на $ \pi $:
$ 7\sqrt{x} = \frac{1}{2} + 2k $
Выразим $ \sqrt{x} $:
$ \sqrt{x} = \frac{\frac{1}{2} + 2k}{7} = \frac{1+4k}{14} $
Поскольку арифметический квадратный корень $ \sqrt{x} $ по определению не может быть отрицательным, должно выполняться неравенство $ \sqrt{x} \ge 0 $.
$ \frac{1+4k}{14} \ge 0 $
$ 1+4k \ge 0 $
$ 4k \ge -1 $
$ k \ge -\frac{1}{4} $
Так как $ k $ — целое число, то оно может принимать значения $ 0, 1, 2, ... $
Чтобы найти $ x $, возведем обе части уравнения $ \sqrt{x} = \frac{1+4k}{14} $ в квадрат:
$ x = \left(\frac{1+4k}{14}\right)^2 = \frac{(1+4k)^2}{196} $
Ответ: $ x = \frac{(1+4k)^2}{196}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0 $.

3) Дано уравнение $ \sin\frac{3\pi x^2}{4} = -1 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $ \sin(A) = -1 $ имеет вид $ A = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $ (или $ A = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $), где $ k $ — любое целое число. Воспользуемся второй формой записи.
В данном случае $ A = \frac{3\pi x^2}{4} $, поэтому:
$ \frac{3\pi x^2}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на $ \pi $:
$ \frac{3x^2}{4} = \frac{3}{2} + 2k $
Умножим обе части на 4:
$ 3x^2 = 6 + 8k $
Выразим $ x^2 $:
$ x^2 = \frac{6+8k}{3} $
Поскольку квадрат действительного числа $ x^2 $ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $ x^2 \ge 0 $.
$ \frac{6+8k}{3} \ge 0 $
$ 6+8k \ge 0 $
$ 8k \ge -6 $
$ k \ge -\frac{6}{8} \implies k \ge -\frac{3}{4} $
Так как $ k $ — целое число, оно может принимать значения $ 0, 1, 2, ... $
Теперь найдем $ x $, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
$ x = \pm\sqrt{\frac{6+8k}{3}} $
Ответ: $ x = \pm\sqrt{\frac{6+8k}{3}}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0 $.