Номер 241, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Найдите:

1) arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) arccos $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) arctg $\sqrt{3}$;

4) arcctg $1$;

5) arcsin $\left(-\frac{1}{2}\right)$;

6) arccos $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

7) arctg $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$;

8) arcctg $(-\sqrt{3})$.

1) По определению арксинуса, $ \arcsin{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $. Следовательно, $ \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

2) По определению арккосинуса, $ \arccos{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \cos{\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $. Следовательно, $ \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $

3) По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{3} $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \operatorname{tg}{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

4) По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{ctg}{\alpha} = 1 $ и $ 0 < \alpha < \pi $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{4}} = 1 $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $. Следовательно, $ \operatorname{arcctg}{1} = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $

5) По определению арксинуса, $ \arcsin{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ a $. Также воспользуемся свойством нечетности арксинуса: $ \arcsin{(-a)} = -\arcsin{a} $.
$ \arcsin{(-\frac{1}{2})} = -\arcsin{(\frac{1}{2})} $.
Известно, что $ \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} $, значит $ \arcsin{(\frac{1}{2})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \arcsin{(-\frac{1}{2})} = -\frac{\pi}{6} $. Угол $ -\frac{\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $

6) По определению арккосинуса, $ \arccos{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. Воспользуемся свойством: $ \arccos{(-a)} = \pi - \arccos{a} $.
$ \arccos{(-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \pi - \arccos{(\frac{\sqrt{3}}{2})} $.
Известно, что $ \cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, значит $ \arccos{(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \arccos{(-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Угол $ \frac{5\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

7) По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ a $. Воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $ \operatorname{arctg}{(-a)} = -\operatorname{arctg}{a} $.
$ \operatorname{arctg}{(-\frac{\sqrt{3}}{3})} = -\operatorname{arctg}{(\frac{\sqrt{3}}{3})} $.
Известно, что $ \operatorname{tg}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, значит $ \operatorname{arctg}{(\frac{\sqrt{3}}{3})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \operatorname{arctg}{(-\frac{\sqrt{3}}{3})} = -\frac{\pi}{6} $. Угол $ -\frac{\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $

8) По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}{a} $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ a $. Воспользуемся свойством: $ \operatorname{arcctg}{(-a)} = \pi - \operatorname{arcctg}{a} $.
$ \operatorname{arcctg}{(-\sqrt{3})} = \pi - \operatorname{arcctg}{(\sqrt{3})} $.
Известно, что $ \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} $, значит $ \operatorname{arcctg}{(\sqrt{3})} = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \operatorname{arcctg}{(-\sqrt{3})} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Угол $ \frac{5\pi}{6} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $