Номер 245, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Найдите область определения функции:

1) $y = \arccos(4 + x)$;

2) $y = \arcsin(3 - x^2)$;

3) $y = \text{arcctg } \frac{5}{\sqrt{x-1}}$.

1) Дана функция $y = \arccos(4 + x)$. Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(a)$, задается условием $|a| \le 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 \le a \le 1$. В данном случае аргумент $a = 4 + x$. Следовательно, для нахождения области определения исходной функции необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le 4 + x \le 1$

Вычтем 4 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 - 4 \le 4 + x - 4 \le 1 - 4$

$-5 \le x \le -3$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ в отрезке от -5 до -3, включая концы.

Ответ: $x \in [-5, -3]$.

2) Дана функция $y = \arcsin(3 - x^2)$. Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(a)$, также задается условием $|a| \le 1$, или $-1 \le a \le 1$. В этом случае аргумент $a = 3 - x^2$. Подставим его в неравенство:

$-1 \le 3 - x^2 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} 3 - x^2 \ge -1 \\ 3 - x^2 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$3 - x^2 \ge -1 \implies 4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 4 \le 0 \implies (x-2)(x+2) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-2, 2]$.

Решим второе неравенство системы:

$3 - x^2 \le 1 \implies 2 - x^2 \le 0 \implies x^2 - 2 \ge 0 \implies (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Для нахождения итоговой области определения найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-2, 2] \cap ((-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty))$.

Пересечением является объединение отрезков $[-2, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

3) Дана функция $y = \operatorname{arcctg}\frac{5}{\sqrt{x - 1}}$. Область определения функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg}(a)$ — это все действительные числа, $a \in (-\infty, +\infty)$. Поэтому ограничения на область определения накладываются только выражением, стоящим в аргументе, то есть дробью $\frac{5}{\sqrt{x - 1}}$.

Для этого выражения существуют два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x - 1} \ne 0$.

Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше 1.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.