Номер 249, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

249. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - 1 = 0$;

2) $7\sin^2 3x + 6\sin 3x - 1 = 0$;

3) $3\cot^2 5x - 1 = 0$;

4) $\tan^2 4x - 5\tan 4x - 6 = 0$.

1) $2\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos\frac{x}{2}$. Выполним замену переменной: пусть $t = \cos\frac{x}{2}$, при этом $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $2t^2 - t - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену.
Получаем совокупность двух уравнений:
1. $\cos\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = 2\pi n, n \in Z \implies x = 4\pi n, n \in Z$.
2. $\cos\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in Z \implies \frac{x}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \implies x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = 4\pi n, n \in Z; x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in Z$.

2) $7\sin^2 3x + 6\sin 3x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Выполним замену переменной: пусть $t = \sin 3x$, при этом $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $7t^2 + 6t - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{14} = \frac{-6 - 8}{14} = -1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{14} = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену.
Получаем совокупность двух уравнений:
1. $\sin 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.
2. $\sin 3x = \frac{1}{7} \implies 3x = (-1)^n \arcsin\frac{1}{7} + \pi n, n \in Z \implies x = \frac{(-1)^n}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z; x = \frac{(-1)^n}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

3) $3\operatorname{ctg}^2 5x - 1 = 0$
Преобразуем уравнение:
$3\operatorname{ctg}^2 5x = 1$
$\operatorname{ctg}^2 5x = \frac{1}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\operatorname{ctg} 5x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
Данное уравнение равносильно совокупности $5x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.
Разделив на 5, получаем решение:
$x = \pm\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in Z$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in Z$.

4) $\operatorname{tg}^2 4x - 5\operatorname{tg} 4x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} 4x$. Выполним замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} 4x$.
Уравнение примет вид: $t^2 - 5t - 6 = 0$.
По теореме, обратной теореме Виета, находим корни:
$t_1 + t_2 = 5$ и $t_1 \cdot t_2 = -6$, откуда $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
Получаем совокупность двух уравнений:
1. $\operatorname{tg} 4x = 6 \implies 4x = \operatorname{arctg} 6 + \pi n, n \in Z \implies x = \frac{1}{4}\operatorname{arctg} 6 + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.
2. $\operatorname{tg} 4x = -1 \implies 4x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, k \in Z \implies 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z \implies x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{1}{4}\operatorname{arctg} 6 + \frac{\pi n}{4}, n \in Z; x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$.