Номер 254, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите все корни уравнения $\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin^2 x = 0$, удовлетворяющие неравенству $-2 < x < 1$.

1. Решение тригонометрического уравнения

Сначала решим уравнение $\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin^2 x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$ \sin x (\cos x + \sqrt{3}\sin x) = 0 $$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

2) $\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$

Решим каждое из них.

Из первого уравнения $\sin x = 0$ находим серию корней:

$$ x = \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Второе уравнение $\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sqrt{3}\sin x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, поскольку нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$$ \frac{\cos x}{\cos x} + \sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} = 0 $$

$$ 1 + \sqrt{3}\tan x = 0 $$

$$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$

Отсюда находим вторую серию корней:

$$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Итак, все корни исходного уравнения задаются двумя сериями: $x = \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n$ — любые целые числа.

2. Отбор корней, удовлетворяющих неравенству

Теперь найдем те корни, которые удовлетворяют неравенству $-2 < x < 1$.

Рассмотрим первую серию корней $x = \pi k$.

Подставим в двойное неравенство:

$$ -2 < \pi k < 1 $$

Разделим все части на $\pi \approx 3.14$:

$$ -\frac{2}{\pi} < k < \frac{1}{\pi} $$

$$ -0.63... < k < 0.31... $$

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $k=0$. При $k=0$ корень равен $x = \pi \cdot 0 = 0$.

Рассмотрим вторую серию корней $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Подставим в двойное неравенство:

$$ -2 < -\frac{\pi}{6} + \pi n < 1 $$

Прибавим ко всем частям $\frac{\pi}{6}$:

$$ -2 + \frac{\pi}{6} < \pi n < 1 + \frac{\pi}{6} $$

Разделим все части на $\pi$:

$$ -\frac{2}{\pi} + \frac{1}{6} < n < \frac{1}{\pi} + \frac{1}{6} $$

Подставим приближенные значения:

$$ -0.63... + 0.16... < n < 0.31... + 0.16... $$

$$ -0.47... < n < 0.48... $$

Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $n=0$. При $n=0$ корень равен $x = -\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, только два корня уравнения принадлежат интервалу $(-2; 1)$: это $0$ и $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $0; -\frac{\pi}{6}$.