gdz.top
Номер 256, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим - номер 256, страница 95.
№255
№256 (с. 95)
Условие. №256 (с. 95)
256. При каких значениях a имеет корни уравнение $\cos^2 x - (3a-1)\cos x + 9a - 12 = 0?$
Решение. №256 (с. 95)
Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - (3a - 1)t + 9a - 12 = 0$.
Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение относительно $t$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $[-1, 1]$, так как область значений функции $\cos x$ есть $[-1, 1]$.
Сгруппируем члены уравнения, содержащие параметр $a$:
$t^2 + t - 12 - 3at + 9a = 0$
$t^2 + t - 12 - 3a(t - 3) = 0$
Разложим на множители выражение $t^2 + t - 12$. Его корнями являются $t = -4$ и $t = 3$, поэтому $t^2 + t - 12 = (t+4)(t-3)$.
$(t+4)(t-3) - 3a(t-3) = 0$
$(t-3)(t+4 - 3a) = 0$
Отсюда получаем два корня для $t$:
$t_1 = 3$
$t_2 = 3a - 4$
Для того чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо, чтобы хотя бы один из этих корней принадлежал отрезку $[-1, 1]$.
Корень $t_1 = 3$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому уравнение $\cos x = 3$ решений не имеет.
Следовательно, решения существуют только если корень $t_2 = 3a - 4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Запишем и решим соответствующее двойное неравенство:
$-1 \le 3a - 4 \le 1$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-1 + 4 \le 3a \le 1 + 4$.
$3 \le 3a \le 5$.
Разделим все части на 3:
$1 \le a \le \frac{5}{3}$.
Ответ: $a \in [1, \frac{5}{3}]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 256 расположенного на странице 95 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №256 (с. 95), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.