Номер 263, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Решите неравенство:

1) $sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $cos x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $ctg x > \sqrt{3}$.

1) Решим неравенство $ \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Для начала решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $ и $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.
Отметим эти точки на единичной окружности. Неравенству $ \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на окружности, ордината (координата y) которых меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это соответствует дуге, которая начинается в точке $ \frac{3\pi}{4} $ и, двигаясь по часовой стрелке, заканчивается в точке $ \frac{\pi}{4} $.
Чтобы записать этот интервал, двигаясь против часовой стрелки, мы можем представить начальную точку как $ \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} $.
Таким образом, решение на одном из промежутков: $ -\frac{5\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} $.
Учитывая периодичность функции синус, общее решение неравенства имеет вид:
$ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in Z $.

2) Решим неравенство $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.
Отметим точки $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $ на единичной окружности. Неравенству $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $ удовлетворяют все точки на окружности, абсцисса (координата x) которых больше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Это соответствует дуге, заключенной между точками $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $ (включая концы), проходящей через точку, соответствующую углу 0.
Таким образом, решение на одном из промежутков: $ -\frac{5\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6} $.
Учитывая периодичность функции косинус, общее решение неравенства имеет вид:
$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x \in [-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in Z $.

3) Решим неравенство $ \tg x < \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Область определения тангенса: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $. Период функции равен $ \pi $.
Решим уравнение $ \tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Главное решение $ x = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} $.
Рассмотрим решение на одном периоде, например, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на этом интервале. Поэтому неравенство $ \tg x < \tg(\frac{\pi}{6}) $ выполняется при $ x < \frac{\pi}{6} $.
С учетом области определения на данном интервале, получаем: $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{6} $.
Учитывая периодичность, добавляем $ \pi k $ к границам интервала, чтобы получить общее решение:
$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k), k \in Z $.

4) Решим неравенство $ \ctg x > \sqrt{3} $.
Область определения котангенса: $ x \neq \pi k, k \in Z $. Период функции равен $ \pi $.
Решим уравнение $ \ctg x = \sqrt{3} $. Главное решение $ x = \text{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} $.
Рассмотрим решение на одном периоде, например, на интервале $ (0, \pi) $.
Функция $ y = \ctg x $ является убывающей на этом интервале. Поэтому неравенство $ \ctg x > \ctg(\frac{\pi}{6}) $ выполняется, когда аргумент меньше, то есть $ x < \frac{\pi}{6} $.
С учетом области определения на данном интервале, получаем: $ 0 < x < \frac{\pi}{6} $.
Учитывая периодичность, добавляем $ \pi k $ к границам интервала, чтобы получить общее решение:
$ \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x \in (\pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k), k \in Z $.