Номер 268, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x - 3}$, $x_0 = 12$;

2) $f(x) = \frac{|x + 7|}{x + 7}$, $x_0 = 4$;

3) $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, & \text{если } x < 2, \\ x^2 - 6, & \text{если } x \geq 2, \end{cases}$ $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{2x - 16}{x - 8}, & \text{если } x \neq 8, \\ 2, & \text{если } x = 8, \end{cases}$ $x_0 = 8$.

1) Для того чтобы выяснить, является ли функция $f(x) = \sqrt{x-3}$ непрерывной в точке $x_0 = 12$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:
1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.
2. Должен существовать предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Значение функции в точке $x_0$ должно быть равно ее пределу в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Проверим эти условия:
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 12$:
$f(12) = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to 12$ путем прямой подстановки, так как функция является элементарной и точка $x_0 = 12$ входит в ее область определения:
$\lim_{x \to 12} \sqrt{x-3} = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3$.
Предел существует.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 12$:
$\lim_{x \to 12} f(x) = 3$ и $f(12) = 3$.
Так как $\lim_{x \to 12} f(x) = f(12)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 12$.

2) Проверим непрерывность функции $f(x) = \frac{|x+7|}{x+7}$ в точке $x_0 = 4$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = \frac{|4+7|}{4+7} = \frac{|11|}{11} = \frac{11}{11} = 1$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to 4$. В окрестности точки $x_0 = 4$ (например, на интервале $(3, 5)$) выражение под модулем $x+7$ всегда положительно. Следовательно, $|x+7| = x+7$. Тогда для $x$ в окрестности 4 функция принимает вид:
$f(x) = \frac{x+7}{x+7} = 1$.
Найдем предел:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} 1 = 1$.
Предел существует.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = 1$ и $f(4) = 1$.
Так как $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 4$.

3) Проверим непрерывность функции $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 6, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$ в точке $x_0 = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$. Так как $x_0 = 2$ удовлетворяет условию $x \geq 2$, используем второе выражение:
$f(2) = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции в точке $x_0 = 2$. Поскольку определение функции меняется в этой точке, необходимо найти левосторонний и правосторонний пределы.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$):
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - 8) = 3 \cdot 2 - 8 = 6 - 8 = -2$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$):
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 6) = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = -2$), то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен -2.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 2$:
$\lim_{x \to 2} f(x) = -2$ и $f(2) = -2$.
Так как $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 2$.

4) Проверим непрерывность функции $f(x) = \begin{cases} \frac{2x-16}{x-8}, & \text{если } x \neq 8 \\ 2, & \text{если } x = 8 \end{cases}$ в точке $x_0 = 8$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 8$. Согласно определению функции, при $x=8$ значение равно 2:
$f(8) = 2$.
Функция определена в данной точке.
2. Найдем предел функции при $x \to 8$. Для нахождения предела рассматриваются значения $x$, сколь угодно близкие к 8, но не равные 8. Поэтому используем первое выражение:
$\lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8} \frac{2x-16}{x-8}$.
При подстановке $x=8$ в выражение получается неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия упростим дробь:
$\lim_{x \to 8} \frac{2(x-8)}{x-8}$.
Поскольку $x \to 8$, но $x \neq 8$, мы можем сократить дробь на $(x-8)$:
$\lim_{x \to 8} 2 = 2$.
Предел существует.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 8$:
$\lim_{x \to 8} f(x) = 2$ и $f(8) = 2$.
Так как $\lim_{x \to 8} f(x) = f(8)$, все условия выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 8$.