Номер 264, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Решим неравенство $ \sin \frac{x}{5} > \frac{1}{2} $.

Введем замену $ t = \frac{x}{5} $, тогда неравенство примет вид $ \sin t > \frac{1}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых ордината (синус) больше $ \frac{1}{2} $. Это дуга, заключенная между углами $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.

Таким образом, решение для $ t $ будет $ \frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{6} $.

Учитывая периодичность функции синус (период $ 2\pi $), общее решение для $ t $ записывается в виде двойного неравенства: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выполним обратную замену $ t = \frac{x}{5} $: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < \frac{x}{5} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.

Чтобы найти $ x $, умножим все части неравенства на 5: $ 5 \cdot (\frac{\pi}{6} + 2\pi n) < x < 5 \cdot (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n) $.

$ \frac{5\pi}{6} + 10\pi n < x < \frac{25\pi}{6} + 10\pi n $.

Ответ: $ x \in (\frac{5\pi}{6} + 10\pi n; \frac{25\pi}{6} + 10\pi n) $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим неравенство $ \cos 4x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Введем замену $ t = 4x $, тогда неравенство примет вид $ \cos t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) меньше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Граничные точки соответствуют уравнению $ \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, решениями которого являются $ t = \frac{5\pi}{6} $ и $ t = \frac{7\pi}{6} $.

Таким образом, решение для $ t $ на одном обороте: $ \frac{5\pi}{6} \le t \le \frac{7\pi}{6} $.

С учетом периодичности функции косинус (период $ 2\pi $), общее решение для $ t $: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $ t = 4x $: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le 4x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $.

Разделим все части неравенства на 4: $ \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} \le x \le \frac{7\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} $.

$ \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $.

Ответ: $ x \in [\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}; \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}] $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим неравенство $ \sin (x + \frac{\pi}{3}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Введем замену $ t = x + \frac{\pi}{3} $, тогда неравенство примет вид $ \sin t \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, для которых ордината (синус) меньше или равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Граничные точки соответствуют уравнению $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, решениями которого (для удобства возьмем интервал $ [-\pi, \pi] $) являются $ t = -\frac{\pi}{3} $ и $ t = -\frac{2\pi}{3} $.

Решение для $ t $: $ -\frac{2\pi}{3} \le t \le -\frac{\pi}{3} $.

С учетом периода $ 2\pi $, общее решение для $ t $: $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $ t = x + \frac{\pi}{3} $: $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $.

Вычтем $ \frac{\pi}{3} $ из всех частей неравенства: $ -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.

$ -\pi + 2\pi n \le x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.

Ответ: $ x \in [-\pi + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n] $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим неравенство $ \cos (3x - \frac{3\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Введем замену $ t = 3x - \frac{3\pi}{4} $, тогда неравенство примет вид $ \cos t > \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем на единичной окружности точки, у которых абсцисса (косинус) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это дуга между углами $ -\frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{4} $.

С учетом периода $ 2\pi $, общее решение для $ t $: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $ t = 3x - \frac{3\pi}{4} $: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x - \frac{3\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi n $.

Прибавим $ \frac{3\pi}{4} $ ко всем частям неравенства: $ -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.

$ \frac{2\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi n $.

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < 3x < \pi + 2\pi n $.

Разделим все части на 3: $ \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}) $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим неравенство $ \tg (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}) \le -\sqrt{3} $.

Введем замену $ t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} $, неравенство примет вид $ \tg t \le -\sqrt{3} $.

Период тангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Уравнение $ \tg t = -\sqrt{3} $ имеет решение $ t = -\frac{\pi}{3} $.

Так как функция $ \tg t $ возрастающая, неравенство выполняется на промежутке от левой асимптоты до $ -\frac{\pi}{3} $ включительно: $ -\frac{\pi}{2} < t \le -\frac{\pi}{3} $.

С учетом периодичности, общее решение для $ t $: $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} $: $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \le -\frac{\pi}{3} + \pi n $.

Вычтем $ \frac{\pi}{12} $ из всех частей: $ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + \pi n < \frac{x}{2} \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + \pi n $.

$ -\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi n < \frac{x}{2} \le -\frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi n $.

$ -\frac{7\pi}{12} + \pi n < \frac{x}{2} \le -\frac{5\pi}{12} + \pi n $.

Умножим все части на 2: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.

Ответ: $ x \in (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n] $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим неравенство $ \ctg (\frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6}) \ge 1 $.

Введем замену $ t = \frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} $, неравенство примет вид $ \ctg t \ge 1 $.

Период котангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (0, \pi) $. Уравнение $ \ctg t = 1 $ имеет решение $ t = \frac{\pi}{4} $.

Так как функция $ \ctg t $ убывающая, неравенство выполняется на промежутке от левой асимптоты до $ \frac{\pi}{4} $ включительно: $ 0 < t \le \frac{\pi}{4} $.

С учетом периодичности, общее решение для $ t $: $ \pi n < t \le \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $ t = \frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} $: $ \pi n < \frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} + \pi n $.

Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям: $ \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n $.

$ \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \le \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \pi n $.

$ \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \le \frac{5\pi}{12} + \pi n $.

Умножим все части на $ \frac{4}{5} $: $ \frac{4}{5}(\frac{\pi}{6} + \pi n) < x \le \frac{4}{5}(\frac{5\pi}{12} + \pi n) $.

$ \frac{4\pi}{30} + \frac{4\pi n}{5} < x \le \frac{20\pi}{60} + \frac{4\pi n}{5} $.

$ \frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi n}{5} < x \le \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{5} $.

Ответ: $ x \in (\frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi n}{5}; \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{5}] $, $ n \in \mathbb{Z} $.