Номер 269, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 4x + 5, x_0 = -2, \Delta x = 0,1;$

2) $f(x) = 3x^2 + x, x_0 = 1, \Delta x = 0,2;$

3) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{4}, \Delta x = \frac{\pi}{12}.$

1)

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$. Формула для вычисления приращения: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Для функции $f(x) = 4x + 5$ в точке $x_0 = -2$ с приращением аргумента $\Delta x = 0,1$ найдем приращение функции.

1. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0 = -2$:
$f(x_0) = f(-2) = 4 \cdot (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$.

2. Определим новое значение аргумента $x_0 + \Delta x$:
$x_0 + \Delta x = -2 + 0,1 = -1,9$.

3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = -1,9$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(-1,9) = 4 \cdot (-1,9) + 5 = -7,6 + 5 = -2,6$.

4. Найдем приращение функции как разность полученных значений:
$\Delta f = f(-1,9) - f(-2) = -2,6 - (-3) = -2,6 + 3 = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

2)

Для функции $f(x) = 3x^2 + x$ в точке $x_0 = 1$ с приращением аргумента $\Delta x = 0,2$ найдем приращение функции по той же формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

2. Определим новое значение аргумента $x_0 + \Delta x$:
$x_0 + \Delta x = 1 + 0,2 = 1,2$.

3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = 1,2$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(1,2) = 3 \cdot (1,2)^2 + 1,2 = 3 \cdot 1,44 + 1,2 = 4,32 + 1,2 = 5,52$.

4. Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(1,2) - f(1) = 5,52 - 4 = 1,52$.

Ответ: $1,52$.

3)

Для функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$ с приращением аргумента $\Delta x = \frac{\pi}{12}$ найдем приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1. Вычислим значение функции в начальной точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определим новое значение аргумента $x_0 + \Delta x$:
$x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

3. Вычислим значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{3}$:
$f(x_0 + \Delta x) = f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

4. Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(\frac{\pi}{3}) - f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.