Номер 267, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 17, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 17

а

$y$

$x_0$

$0$

$f(x_0)$

$x$

б

$y$

$x_0$

$0$

$x$

в

$y$

$f(x_0)$

$x_0$

$0$

$x$

г

$y$

$f(x_0)$

$x_0$

$0$

$x$

д

$y$

$x_0$

$0$

$x$

е

$y$

$f(x_0)$

$x_0$

$0$

$x$

а

1) Да, функция определена в точке $x_0$. На графике в этой точке показана сплошная точка, ордината которой равна значению функции $f(x_0)$.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу, равному $f(x_0)$. Это записывается так: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) Да, предел в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке. Это условие непрерывности функции в точке.

Ответ: 1) определена; 2) существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$; 3) равен.

б

1) Нет, функция не определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена "выколотая" точка (пустой кружок), что означает отсутствие значения функции в данной точке.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. При приближении к $x_0$ с обеих сторон (слева и справа), значения функции стремятся к одному и тому же числу, которое является ординатой "выколотой" точки. Обозначим это значение как $L$. Таким образом, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.

3) Нет, предел не может быть равен значению функции, поскольку значение функции в точке $x_0$ не определено.

Ответ: 1) не определена; 2) существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ (где $L$ — ордината "выколотой" точки); 3) нет, так как функция не определена в точке.

в

1) Да, функция определена в точке $x_0$. Ее значение $f(x_0)$ показано на графике сплошной точкой.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. При приближении к $x_0$ с обеих сторон, значения функции стремятся к ординате "выколотой" точки. Обозначим это предельное значение как $L$. Таким образом, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.

3) Нет, предел в точке $x_0$ не равен значению функции в этой точке. Из графика видно, что ордината "выколотой" точки ($L$) и ордината сплошной точки ($f(x_0)$) различны, то есть $L \neq f(x_0)$.

Ответ: 1) определена; 2) существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ (где $L$ — ордината "выколотой" точки); 3) не равен.

г

1) Да, функция определена в точке $x_0$, ее значение $f(x_0)$ соответствует ординате сплошной точки.

2) Нет, предел функции в точке $x_0$ не существует. Это связано с тем, что односторонние пределы не равны. Левосторонний предел равен значению функции: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$. Правосторонний предел равен ординате "выколотой" точки, обозначим ее $L$: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$. Поскольку $f(x_0) \neq L$, общий предел не существует.

3) Вопрос не имеет смысла, поскольку предел в точке $x_0$ не существует.

Ответ: 1) определена; 2) не существует; 3) вопрос не имеет смысла.

д

1) Нет, функция не определена в точке $x_0$. Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой для графика функции.

2) Нет, предел функции в точке $x_0$ не существует как конечное число. При приближении $x$ к $x_0$ с обеих сторон, значения функции неограниченно возрастают. Это символически записывают как $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.

3) Вопрос не имеет смысла, поскольку предел в точке $x_0$ не существует (он не является конечным числом).

Ответ: 1) не определена; 2) не существует; 3) вопрос не имеет смысла.

е

1) Да, функция определена в точке $x_0$, ее значение $f(x_0)$ показано сплошной точкой.

2) Нет, предел функции в точке $x_0$ не существует. Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой, при этом односторонние пределы различны и бесконечны. Левосторонний предел: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$. Правосторонний предел: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$.

3) Вопрос не имеет смысла, поскольку предел в точке $x_0$ не существует.

Ответ: 1) определена; 2) не существует; 3) вопрос не имеет смысла.