Номер 261, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 3x - \sin x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x.$

1) $ \frac{\cos{3x} - \cos{x}}{\sin{3x} - \sin{x}} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \cos{3x} - \cos{x} = 0 \\ \sin{3x} - \sin{x} \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $ \cos{3x} - \cos{x} = 0 $.

Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $:

$ -2\sin{\frac{3x+x}{2}}\sin{\frac{3x-x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{2x}\sin{x} = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ \sin{2x} = 0 \quad $ или $ \quad \sin{x} = 0 $

а) $ \sin{2x} = 0 $

$ 2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что множество решений $ x = \pi k $ является подмножеством решений $ x = \frac{\pi n}{2} $ (при четных $ n=2k $). Таким образом, общее решение уравнения $ \cos{3x} - \cos{x} = 0 $ есть $ x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. Теперь проверим условие $ \sin{3x} - \sin{x} \neq 0 $.

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} $:

$ 2\sin{\frac{3x-x}{2}}\cos{\frac{3x+x}{2}} \neq 0 $

$ 2\sin{x}\cos{2x} \neq 0 $

Это означает, что одновременно должны выполняться два условия:

$ \sin{x} \neq 0 \quad $ и $ \quad \cos{2x} \neq 0 $

Подставим найденные решения $ x = \frac{\pi n}{2} $ в эти условия:

а) Проверка $ \sin{x} \neq 0 $:

$ \sin(\frac{\pi n}{2}) \neq 0 $. Значение $ \sin(\frac{\pi n}{2}) $ равно нулю, когда $ n $ — четное число ($ n=2k $), так как $ \sin(\frac{\pi (2k)}{2}) = \sin(\pi k) = 0 $. Следовательно, четные значения $ n $ необходимо исключить.

б) Проверка $ \cos{2x} \neq 0 $:

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(\pi n) = (-1)^n $. Это значение никогда не равно нулю. Данное условие не накладывает дополнительных ограничений.

Итак, из множества решений $ x = \frac{\pi n}{2} $ мы должны оставить только те, для которых $ n $ является нечетным числом. Пусть $ n = 2k + 1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \frac{\sin{2x}}{1 - \cos{x}} = 2\sin{x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ 1 - \cos{x} \neq 0 $

$ \cos{x} \neq 1 $

$ x \neq 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $:

$ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{1 - \cos{x}} = 2\sin{x} $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{1 - \cos{x}} - 2\sin{x} = 0 $

$ 2\sin{x} \left( \frac{\cos{x}}{1 - \cos{x}} - 1 \right) = 0 $

$ 2\sin{x} \left( \frac{\cos{x} - (1 - \cos{x})}{1 - \cos{x}} \right) = 0 $

$ 2\sin{x} \frac{2\cos{x} - 1}{1 - \cos{x}} = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ \sin{x} = 0 \quad $ или $ \quad 2\cos{x} - 1 = 0 $

а) Решим уравнение $ \sin{x} = 0 $:

$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($ x \neq 2\pi n $).

Если $ k $ — четное число, т.е. $ k = 2n $, то $ x = 2\pi n $. Эти корни не входят в ОДЗ.

Если $ k $ — нечетное число, т.е. $ k = 2n + 1 $, то $ x = \pi(2n+1) = \pi + 2\pi n $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, из этого случая получаем серию решений $ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ 2\cos{x} - 1 = 0 $:

$ \cos{x} = \frac{1}{2} $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($ \cos{x} \neq 1 $). Так как $ \cos{x} = \frac{1}{2} $, то условие выполняется. Следовательно, обе серии корней являются решениями исходного уравнения.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.