Номер 262, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Сколько корней уравнения $\text{tg } 4x \cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]$?

Дано уравнение: $ \tg 4x \cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $ \tg 4x $ определена, если ее аргумент не является нечетным кратным $ \frac{\pi}{2} $, то есть $ \cos 4x \neq 0 $. Это условие можно записать как $ 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $.

Преобразуем исходное уравнение. Заменим $ \tg 4x $ на $ \frac{\sin 4x}{\cos 4x} $:
$ \frac{\sin 4x}{\cos 4x} \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin 3x $

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{\sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x}{\cos 4x} = \sqrt{2}\sin 3x $

В числителе левой части видим формулу синуса разности углов $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $. Применим ее:
$ \frac{\sin(4x-x)}{\cos 4x} = \sqrt{2}\sin 3x $
$ \frac{\sin 3x}{\cos 4x} = \sqrt{2}\sin 3x $

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $ \sin 3x $:
$ \frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0 $
$ \sin 3x \left( \frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $ \sin 3x = 0 $
2) $ \frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} = 0 $

Решим первое уравнение: $ \sin 3x = 0 $
$ 3x = \pi n $, где $ n \in Z $.
$ x = \frac{\pi n}{3} $.
Проверим, что эти корни удовлетворяют ОДЗ ($ \cos 4x \neq 0 $). Подставим $ x = \frac{\pi n}{3} $ в $ \cos 4x $: $ \cos\left(4 \cdot \frac{\pi n}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi n}{3}\right) $. Это выражение не равно нулю ни при каком целом $ n $.
Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] $.
$ -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi n}{3} \leq \frac{\pi}{4} $
Разделим неравенство на $ \frac{\pi}{3} $:
$ -1 \leq n \leq \frac{3}{4} $
Целые значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n = -1 $ и $ n = 0 $.
При $ n = -1 $ получаем корень $ x_1 = -\frac{\pi}{3} $.
При $ n = 0 $ получаем корень $ x_2 = 0 $.

Решим второе уравнение: $ \frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} = 0 $
$ \frac{1}{\cos 4x} = \sqrt{2} $, откуда $ \cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это значение не равно нулю, так что ОДЗ выполняется.
Решения этого уравнения:
$ 4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi m $, где $ m \in Z $.
$ x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} $.
Рассмотрим две серии корней и отберем те, что лежат в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] $.
а) $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} $
$ -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} \leq \frac{\pi}{4} $
Разделим на $ \pi $: $ -\frac{1}{3} \leq \frac{1}{16} + \frac{m}{2} \leq \frac{1}{4} $
$ -\frac{1}{3} - \frac{1}{16} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{1}{4} - \frac{1}{16} $
$ -\frac{19}{48} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{3}{16} $
$ -\frac{19}{24} \leq m \leq \frac{3}{8} $
Единственное целое $ m $ в этом интервале — это $ m = 0 $.
При $ m = 0 $ получаем корень $ x_3 = \frac{\pi}{16} $.
б) $ x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} $
$ -\frac{\pi}{3} \leq -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2} \leq \frac{\pi}{4} $
$ -\frac{1}{3} + \frac{1}{16} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{16} $
$ -\frac{13}{48} \leq \frac{m}{2} \leq \frac{5}{16} $
$ -\frac{13}{24} \leq m \leq \frac{5}{8} $
Единственное целое $ m $ в этом интервале — это $ m = 0 $.
При $ m = 0 $ получаем корень $ x_4 = -\frac{\pi}{16} $.

В итоге мы получили четыре различных корня, принадлежащих промежутку $ \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] $: $ -\frac{\pi}{3} $, $ 0 $, $ \frac{\pi}{16} $ и $ -\frac{\pi}{16} $.

Ответ: 4