Номер 265, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

265. Решите неравенство:

1) $\frac{\sqrt{3}}{3} \le \text{ctg } x \le 4;$

2) $ -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2};$

3) $|\cos x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $|\text{tg } x| \ge \frac{\sqrt{3}}{3}.$

1) Решим двойное неравенство $ \frac{\sqrt{3}}{3} \le \text{ctg}\,x \le 4 $.
Функция $ y = \text{ctg}\,x $ является периодической с периодом $ \pi $ и убывающей на каждом интервале области определения $ (\pi k, \pi + \pi k), k \in Z $.
Сначала найдем решение на одном периоде, например, на интервале $ (0, \pi) $.
Найдем значения $x$, для которых $ \text{ctg}\,x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \text{ctg}\,x = 4 $.
$ \text{ctg}\,x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} $.
$ \text{ctg}\,x = 4 \implies x = \text{arcctg}(4) $.
Так как функция $ \text{ctg}\,x $ убывающая на интервале $ (0, \pi) $, то из неравенства $ \frac{\sqrt{3}}{3} \le \text{ctg}\,x \le 4 $ следует, что $ \text{arcctg}(4) \le x \le \frac{\pi}{3} $.
Учитывая периодичность функции, общее решение неравенства имеет вид:
$ \text{arcctg}(4) + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in Z $.
Ответ: $ x \in [\text{arcctg}(4) + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k], k \in Z $.

2) Решим двойное неравенство $ -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Рассмотрим решение на единичной окружности. Неравенство означает, что ордината точки, соответствующей углу $x$, должна быть строго больше $ -\frac{1}{2} $ и строго меньше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдем углы, для которых синус принимает граничные значения:
$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ и $ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $.
$ \sin x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $ и $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
На единичной окружности, двигаясь против часовой стрелки, мы получаем два интервала, удовлетворяющих условию $ -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $:
1. От угла $ -\frac{\pi}{6} $ до угла $ \frac{\pi}{3} $.
2. От угла $ \frac{2\pi}{3} $ до угла $ \frac{7\pi}{6} $.
Запишем общее решение, прибавив период $ 2\pi k $:
$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), k \in Z $.

3) Решим неравенство $ |\cos x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $ или $ \cos x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решим первое неравенство: $ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге от $ -\frac{\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{6} $. Решение: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
Решим второе неравенство: $ \cos x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге от $ \frac{5\pi}{6} $ до $ \frac{7\pi}{6} $. Решение: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
Объединяя эти два решения, можно заметить, что они повторяются с периодом $ \pi $. Интервал $ [\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] $ можно получить, прибавив $ \pi $ к границам интервала $ [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}] $.
Следовательно, общее решение можно записать в более компактной форме: $ -\frac{\pi}{6} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k], k \in Z $.

4) Решим неравенство $ |\text{tg}\,x| \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $ \text{tg}\,x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $ или $ \text{tg}\,x \le -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Функция $ y = \text{tg}\,x $ имеет период $ \pi $ и определена при $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $. Решим неравенство на интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Для $ \text{tg}\,x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $, так как $ \text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и функция возрастает, решением будет $ [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) $.
Для $ \text{tg}\,x \le -\frac{\sqrt{3}}{3} $, так как $ \text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $, решением будет $ (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}] $.
Объединяя решения для одного периода, получаем $ x \in (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}] \cup [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) $.
Учитывая периодичность тангенса, добавляем $ \pi k $ к границам интервалов.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{6} + \pi k] \cup [\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in Z $.