Номер 266, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Решите неравенство:

1) $2\sin^2 \frac{x}{4} < 1,5;$

2) $\sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

1) $2\sin^2{\frac{x}{4}} < 1,5$

Разделим обе части неравенства на 2:

$\sin^2{\frac{x}{4}} < \frac{1,5}{2}$

$\sin^2{\frac{x}{4}} < 0,75$

$\sin^2{\frac{x}{4}} < \frac{3}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2{\alpha} = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{1-\cos(\frac{x}{2})}{2} < \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1-\cos(\frac{x}{2}) < \frac{3}{2}$

$-\cos(\frac{x}{2}) < \frac{3}{2} - 1$

$-\cos(\frac{x}{2}) < \frac{1}{2}$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\cos(\frac{x}{2}) > -\frac{1}{2}$

Сделаем замену $t = \frac{x}{2}$. Получим $\cos t > -\frac{1}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал:

$-\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n < t < \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{2}$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Умножим все части двойного неравенства на 2, чтобы выразить $x$:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n; \frac{4\pi}{3} + 4\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin4x\cos x - \cos4x\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Левая часть неравенства представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 4x$ и $\beta = x$. Применим эту формулу:

$\sin(4x - x) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(3x) \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену $t = 3x$. Получим неравенство $\sin t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является промежуток:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k \le t \le \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 3x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 3, чтобы выразить $x$:

$-\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.