Номер 260, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Решите уравнение:

1) $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos 3x;$

2) $\sqrt{2}(\cos 3x + \sin 3x) = \cos 6x;$

3) $\cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 5x;$

4) $\sin 3x \cos 2x = \sin 5x;$

5) $\sin 5x \cos 2x = -\sin 3x \cos 6x;$

6) $\cos 3x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right).$

1) Решим уравнение $ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos 3x $.

Преобразуем левую часть, используя метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2} \cos 3x $

Разделим обе части на $ \sqrt{2} \neq 0 $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \cos 3x $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, уравнение можно записать в виде:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos 3x $

Используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \cos 3x $

Применим формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x) $

Равенство $ \sin A = \sin B $ равносильно совокупности двух уравнений:

$ A = B + 2\pi n $ или $ A = \pi - B + 2\pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Случай 1:

$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n $

$ 4x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Случай 2:

$ x - \frac{\pi}{4} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k $

$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k $

$ -2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = -\frac{3\pi}{8} - \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \ x = -\frac{3\pi}{8} - \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{2}(\cos 3x + \sin 3x) = \cos 6x $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ \cos 6x = \cos^2 3x - \sin^2 3x = (\cos 3x - \sin 3x)(\cos 3x + \sin 3x) $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sqrt{2}(\cos 3x + \sin 3x) = (\cos 3x - \sin 3x)(\cos 3x + \sin 3x) $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos 3x + \sin 3x) $ за скобки:

$ (\cos 3x + \sin 3x)(\cos 3x - \sin 3x - \sqrt{2}) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \cos 3x + \sin 3x = 0 $

Разделим на $ \cos 3x $ (предполагая, что $ \cos 3x \neq 0 $):

$ 1 + \tan 3x = 0 \implies \tan 3x = -1 $

$ 3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos 3x - \sin 3x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos 3x - \sin 3x = \sqrt{2} $

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла, разделив на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x = 1 $

$ \cos(\frac{\pi}{4})\cos 3x - \sin(\frac{\pi}{4})\sin 3x = 1 $

$ \cos(3x + \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ 3x + \frac{\pi}{4} = 2\pi k $

$ 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой (когда $ n $ в первой серии является четным числом, $ n=2k $). Следовательно, все решения описываются первой серией.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 5x $.

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. Коэффициент $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.

$ 2(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x) = 2 \cos 5x $

Разделим обе части на 2:

$ \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos 5x $

Заметим, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Получаем:

$ \cos(\frac{\pi}{3})\cos x - \sin(\frac{\pi}{3})\sin x = \cos 5x $

По формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:

$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos 5x $

Равенство $ \cos A = \cos B $ равносильно совокупности $ A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Случай 1:

$ x + \frac{\pi}{3} = 5x + 2\pi n $

$ -4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $ (что эквивалентно $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $)

Случай 2:

$ x + \frac{\pi}{3} = -5x + 2\pi m $

$ 6x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m $

$ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}; \ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi m}{3} $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

4) Решим уравнение $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x $.

Используем формулу синуса суммы для правой части: $ \sin 5x = \sin(3x+2x) = \sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x $.

Подставим это в уравнение:

$ \sin 3x \cos 2x = \sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x $

Вычтем $ \sin 3x \cos 2x $ из обеих частей:

$ 0 = \cos 3x \sin 2x $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

2. $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi k $

$ x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \ x = \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим уравнение $ \sin 5x \cos 2x = -\sin 3x \cos 6x $.

Перенесем все в левую часть:

$ \sin 5x \cos 2x + \sin 3x \cos 6x = 0 $

Применим формулу преобразования произведения в сумму $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $:

$ \frac{1}{2}(\sin(5x+2x) + \sin(5x-2x)) + \frac{1}{2}(\sin(3x+6x) + \sin(3x-6x)) = 0 $

$ \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin 3x) + \frac{1}{2}(\sin 9x + \sin(-3x)) = 0 $

Умножим на 2 и используем свойство нечетности синуса $ \sin(-3x) = -\sin 3x $:

$ \sin 7x + \sin 3x + \sin 9x - \sin 3x = 0 $

$ \sin 7x + \sin 9x = 0 $

Применим формулу преобразования суммы в произведение $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $:

$ 2\sin(\frac{7x+9x}{2})\cos(\frac{7x-9x}{2}) = 0 $

$ 2\sin(8x)\cos(-x) = 0 $

Так как косинус - четная функция, $ \cos(-x) = \cos x $:

$ 2\sin(8x)\cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \sin 8x = 0 $

$ 8x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Решения второго случая являются подмножеством решений первого (например, при $ k=0, x=\pi/2 $, что соответствует $ n=4 $ в первой серии; при $ k=1, x=3\pi/2 $, что соответствует $ n=12 $). Таким образом, достаточно указать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.

6) Решим уравнение $ \cos 3x = 2\sin(\frac{3\pi}{2} - x) $.

Сначала упростим правую часть с помощью формулы приведения. Угол $ (\frac{3\pi}{2} - x) $ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Функция меняется на кофункцию (синус на косинус).

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x $

Уравнение принимает вид:

$ \cos 3x = 2(-\cos x) $

$ \cos 3x + 2\cos x = 0 $

Используем формулу косинуса тройного угла $ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x $:

$ (4\cos^3 x - 3\cos x) + 2\cos x = 0 $

$ 4\cos^3 x - \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (4\cos^2 x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2. $ 4\cos^2 x - 1 = 0 $

$ \cos^2 x = \frac{1}{4} $

$ \cos x = \pm \frac{1}{2} $

a) $ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

b) $ \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ n, k, m \in \mathbb{Z} $.