Номер 253, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

253. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 x = 3 + 2\sin x \sin 3x;$

2) $\sin 2x - 3(\sin x + \cos x) - 3 = 0;$

3) $\sqrt{10 - 9\operatorname{tg} x} = 3\operatorname{tg} x - 2;$

4) $\sqrt{\cos 2x} = \cos x.$

1) Исходное уравнение: $4\sin^2 x = 3 + 2\sin x \sin 3x$.
Используем формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$:
$2\sin x \sin 3x = \cos(3x-x) - \cos(3x+x) = \cos 2x - \cos 4x$.
Подставим в уравнение:
$4\sin^2 x = 3 + \cos 2x - \cos 4x$.
Теперь используем формулу понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $:
$4 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = 3 + \cos 2x - \cos 4x$
$2(1 - \cos 2x) = 3 + \cos 2x - \cos 4x$
$2 - 2\cos 2x = 3 + \cos 2x - \cos 4x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\cos 4x - 3\cos 2x - 1 = 0$.
Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$:
$(2\cos^2 2x - 1) - 3\cos 2x - 1 = 0$
$2\cos^2 2x - 3\cos 2x - 2 = 0$.
Сделаем замену $y = \cos 2x$. Получим квадратное уравнение:
$2y^2 - 3y - 2 = 0$.
Находим корни: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{4} = \frac{3+5}{4} = 2$. Этот корень не подходит, так как $|\cos 2x| \le 1$.
$y_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\cos 2x = -1/2$.
$2x = \pm \arccos(-1/2) + 2\pi n, n \in Z$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $\sin 2x - 3(\sin x + \cos x) - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x + \cos x$.
Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.
Отсюда $\sin 2x = t^2 - 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$(t^2 - 1) - 3t - 3 = 0$
$t^2 - 3t - 4 = 0$.
Решаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t_1 = 4$, $t_2 = -1$.
Возвращаемся к замене:
Случай 1: $\sin x + \cos x = 4$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 4 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.
Случай 2: $\sin x + \cos x = -1$.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем две серии решений:
а) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.
б) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{10 - 9\tg x} = 3\tg x - 2$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3\tg x - 2 \ge 0 \\ 10 - 9\tg x = (3\tg x - 2)^2 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $\tg x \ge \frac{2}{3}$.
Решим второе уравнение:
$10 - 9\tg x = 9\tg^2 x - 12\tg x + 4$
$9\tg^2 x - 3\tg x - 6 = 0$
$3\tg^2 x - \tg x - 2 = 0$.
Сделаем замену $y = \tg x$: $3y^2 - y - 2 = 0$.
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{6} = \frac{1+5}{6} = 1$.
$y_2 = \frac{1-5}{6} = -\frac{2}{3}$.
Проверим корни с учетом условия $\tg x \ge \frac{2}{3}$:
$\tg x = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge \frac{2}{3}$.
$\tg x = -2/3$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{2}{3} < \frac{2}{3}$. Это посторонний корень.
Итак, $\tg x = 1$.
$x = \arctan(1) + \pi n, n \in Z$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{\cos 2x} = \cos x$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \cos 2x = \cos^2 x \end{cases}$
Решим второе уравнение, используя формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$2\cos^2 x - 1 = \cos^2 x$
$\cos^2 x = 1$
$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.
Проверим решения с учетом условия $\cos x \ge 0$:
$\cos x = 1$ удовлетворяет условию.
$\cos x = -1$ не удовлетворяет условию.
Следовательно, единственным решением является $\cos x = 1$.
$x = 2\pi n, n \in Z$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$.