Номер 247, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. Решите уравнение:

1) $\arccos x = \frac{5\pi}{6}$;

2) $\text{arcctg}(x - 2) = \frac{3\pi}{4}$;

3) $\arcsin (4x + 3) = -\frac{\pi}{6}$.

1) $\arccos x = \frac{5\pi}{6}$

По определению арккосинуса, если $\arccos a = b$, то $\cos b = a$, при этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$.

В данном уравнении значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, поэтому уравнение имеет решение.

Чтобы найти $x$, возьмем косинус от обеих частей уравнения:

$x = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$

Для вычисления значения косинуса воспользуемся формулой приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Так как значение $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) $\operatorname{arcctg}(x - 2) = \frac{3\pi}{4}$

По определению арккотангенса, если $\operatorname{arcctg} a = b$, то $\operatorname{ctg} b = a$, при этом значение $b$ должно принадлежать интервалу $(0; \pi)$.

В данном уравнении значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, поэтому уравнение имеет решение.

Чтобы найти выражение $x - 2$, возьмем котангенс от обеих частей уравнения:

$x - 2 = \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Для вычисления значения котангенса воспользуемся формулой приведения: $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Так как значение $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$, получаем:

$x - 2 = -1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = -1 + 2$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$

3) $\arcsin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin a = b$, то $\sin b = a$, при этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

В данном уравнении значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, поэтому уравнение имеет решение.

Чтобы найти выражение $4x+3$, возьмем синус от обеих частей уравнения:

$4x + 3 = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, имеем:

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Так как значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$4x + 3 = -\frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$4x = -\frac{1}{2} - 3$

$4x = -\frac{1}{2} - \frac{6}{2}$

$4x = -\frac{7}{2}$

$x = -\frac{7}{2} \div 4 = -\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$x = -\frac{7}{8}$

Ответ: $x = -\frac{7}{8}$