Номер 242, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Найдите значение выражения:

1) $\arccos (-1) + \arcsin 0 + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{arctg } (-1);$

2) $2\arcsin 1 - 3\arccos 0 + 4\text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\arccos \left(-\frac{1}{2}\right).$

1) $\arccos(-1) + \arcsin 0 + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \operatorname{arctg}(-1)$

Для решения найдём значение каждого слагаемого по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций (аркфункций):

• $\arccos(-1)$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этому условию соответствует угол $\pi$.
  $\arccos(-1) = \pi$
• $\arcsin 0$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $0$. Этому условию соответствует угол $0$.
  $\arcsin 0 = 0$
• $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{3}$.
  $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$
• $\operatorname{arctg}(-1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Этому условию соответствует угол $-\frac{\pi}{4}$.
  $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь сложим полученные значения:

$\pi + 0 + \frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{4}) = \pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{12\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{12\pi + 4\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$

Ответ: $\frac{13\pi}{12}$

2) $2\arcsin 1 - 3\arccos 0 + 4\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\arccos(-\frac{1}{2})$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности:

• $2\arcsin 1$:
  $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ (угол из $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $1$).
  $2\arcsin 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$
• $3\arccos 0$:
  $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ (угол из $[0; \pi]$, косинус которого равен $0$).
  $3\arccos 0 = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
• $4\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$:
  $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.
  $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
  $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
  $4\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$
• $2\arccos(-\frac{1}{2})$:
  $\arccos(-\frac{1}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
  $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
  $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
  $2\arccos(-\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Теперь подставим все значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$\pi - \frac{3\pi}{2} + \frac{8\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \pi - \frac{3\pi}{2} + \frac{12\pi}{3} = \pi - \frac{3\pi}{2} + 4\pi = 5\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{10\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$

Ответ: $\frac{7\pi}{2}$