Номер 238, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Решите уравнение:

1) $\text{tg } 3x = 0;$

2) $\text{tg } \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1;$

3) $8\text{tg } \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0;$

4) $\text{ctg } 4x = -\sqrt{3};$

5) $\text{ctg } \left(\frac{\pi}{4} - 6x\right) = 0;$

6) $2\text{ctg } \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0.$

1) Решим уравнение $\operatorname{tg} 3x = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Аргумент тангенса равен $ \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
$ 3x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 3, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1$.
Общее решение уравнения $ \operatorname{tg} t = 1 $ имеет вид $ t = \operatorname{arctg}(1) + \pi k $, то есть $ t = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = \frac{\pi}{6} - 2x $.
$ \frac{\pi}{6} - 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ -2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi k $
$ -2x = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + \pi k $
$ -2x = \frac{\pi}{12} + \pi k $
$ x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0$.
Сначала выразим тангенс:
$ 8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 3 $
$ \operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{8} $
Теперь применим общую формулу для решения уравнения $ \operatorname{tg} t = a $: $ t = \operatorname{arctg}(a) + \pi k $.
$ 4x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ 4x = \frac{\pi}{4} + \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\operatorname{ctg} 4x = -\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $ \operatorname{ctg} t = a $ имеет вид $ t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k $.
Значение $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6} $.
$ 4x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 6x\right) = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Аргумент котангенса равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
$ \frac{\pi}{4} - 6x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ -6x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ -6x = \frac{2\pi - \pi}{4} + \pi k $
$ -6x = \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0$.
Сначала выразим котангенс:
$ 2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = 5 $
$ \operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{2} $
Теперь применим общую формулу для решения уравнения $ \operatorname{ctg} t = a $: $ t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k $.
$ 5x - \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ 5x = \frac{\pi}{3} + \operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.