Страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Решите уравнение:

1) $\sin 8x = 1$;

2) $\sin \frac{4x}{11} = 0$;

3) $\sin \left( 7x - \frac{\pi}{6} \right) = -1$;

4) $2\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) + 1 = 0$;

5) $\sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0$;

6) $5\sin(4x - 1) - 2 = 0$;

7) $\sin(11x + 3) = \frac{\pi}{2}$;

8) $\sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8}$.

1) $ \sin(8x) = 1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $ \sin(y) = 1 $ имеет решение $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ y = 8x $.

$ 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{8 \cdot 2} + \frac{2\pi n}{8} $

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin(\frac{4x}{11}) = 0 $

Это частный случай. Уравнение $ \sin(y) = 0 $ имеет решение $ y = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ y = \frac{4x}{11} $.

$ \frac{4x}{11} = \pi n $

Умножим обе части на 11 и разделим на 4, чтобы найти $ x $:

$ 4x = 11\pi n $

$ x = \frac{11\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{11\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

3) $ \sin(7x - \frac{\pi}{6}) = -1 $

Это частный случай. Уравнение $ \sin(y) = -1 $ имеет решение $ y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ y = 7x - \frac{\pi}{6} $.

$ 7x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Перенесем $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть:

$ 7x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ 7x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ 7x = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n $

$ 7x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

Разделим обе части на 7:

$ x = -\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $

4) $ 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) + 1 = 0 $

Сначала выразим $ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) $:

$ 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = -1 $

$ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ дается формулой $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{1}{2} $, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

$ 3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n $

$ 3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 3x = -\frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

$ x = -\frac{\pi}{9} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{9} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

5) $ \sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0 $

Выразим $ \sin(4 - 9x) $:

$ 2\sin(4 - 9x) = -\sqrt{3} $

$ \sin(4 - 9x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем общую формулу решения $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

$ 4 - 9x = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n $

$ 4 - 9x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ -9x = -4 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n $

Разделим обе части на -9:

$ x = \frac{4}{9} - \frac{(-1)^{n+1}\pi}{27} - \frac{\pi n}{9} $

Можно переписать $ -(-1)^{n+1} $ как $ (-1)^1 \cdot (-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} $.

$ x = \frac{4}{9} + \frac{(-1)^{n+2}\pi}{27} - \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{4}{9} + \frac{(-1)^{n+2}\pi}{27} - \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z} $

6) $ 5\sin(4x - 1) - 2 = 0 $

Выразим $ \sin(4x - 1) $:

$ 5\sin(4x - 1) = 2 $

$ \sin(4x - 1) = \frac{2}{5} $

Используем общую формулу $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 4x - 1 = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 4x = 1 + (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n $

$ x = \frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

7) $ \sin(11x + 3) = \frac{\pi}{2} $

Область значений функции синус $ [-1, 1] $.

Оценим значение правой части уравнения: $ \pi \approx 3.14159 $, значит $ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57 $.

Так как $ 1.57 > 1 $, то значение $ \frac{\pi}{2} $ не входит в область значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

8) $ \sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8} $

Область значений функции синус $ [-1, 1] $.

Оценим значение правой части: $ \pi \approx 3.14159 $, значит $ -\frac{\pi}{8} \approx -\frac{3.14159}{8} \approx -0.3927 $.

Так как $ -1 \le -0.3927 \le 1 $, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 6x - 7 = (-1)^n \arcsin(-\frac{\pi}{8}) + \pi n $

Используя свойство арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, получаем:

$ 6x - 7 = (-1)^n (-\arcsin(\frac{\pi}{8})) + \pi n $

$ 6x - 7 = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 6x = 7 + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi n $

$ x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{n+1}}{6} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{n+1}}{6} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $

232. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \sin x = 1$;

3) $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}.$

1) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \cos x + b \sin x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Коэффициенты при тригонометрических функциях: $a = \sqrt{3}$, $b = 1$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ являются косинусом и синусом угла $\frac{\pi}{6}$ соответственно, то есть $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x + \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по формуле:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-3\pi + 2\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \sin x = 1$

Это линейное тригонометрическое уравнение. Коэффициенты: $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{4}) \sin x = \frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{-4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $-\cos x + \sin x = -\sqrt{2}$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 1$.

Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -1$

Перегруппируем слагаемые: $\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = -1$

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

233. Сколько корней уравнения $\sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$?

Для решения задачи сначала решим тригонометрическое уравнение, а затем отберем корни, удовлетворяющие заданному неравенству.

Исходное уравнение:$ \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 3x - \frac{\pi}{4} $. Тогда уравнение примет вид:$ \sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения можно записать в виде двух серий:$ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем, в каком интервале должна находиться переменная $t$, исходя из неравенства для $x$:$ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} $

Умножим все части неравенства на 3:$ -\frac{3\pi}{4} < 3x < \frac{3\pi}{2} $

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей неравенства:$ -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} < 3x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} $$ -\frac{4\pi}{4} < t < \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4} $$ -\pi < t < \frac{5\pi}{4} $

Теперь найдем, какие из решений для $t$ попадают в интервал $ \left(-\pi, \frac{5\pi}{4}\right) $.

1. Рассмотрим первую серию решений $ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $. Подставим различные целые значения $k$:

• При $ k = 0 $: $ t = \frac{\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет неравенству $ -\pi < \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} $.
• При $ k = 1 $: $ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал, так как $ \frac{9\pi}{4} > \frac{5\pi}{4} $.
• При $ k = -1 $: $ t = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал, так как $ -\frac{7\pi}{4} < -\pi $.

Из этой серии подходит только один корень $ t = \frac{\pi}{4} $.

2. Рассмотрим вторую серию решений $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $. Подставим различные целые значения $k$:

• При $ k = 0 $: $ t = \frac{3\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет неравенству $ -\pi < \frac{3\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} $.
• При $ k = 1 $: $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал.
• При $ k = -1 $: $ t = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} $. Это значение не входит в интервал.

Из этой серии подходит только один корень $ t = \frac{3\pi}{4} $.

Таким образом, в заданном интервале для $t$ есть два решения: $ t_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ t_2 = \frac{3\pi}{4} $. Каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x$, так как зависимость $ t = 3x - \frac{\pi}{4} $ линейная. Следовательно, исходное уравнение имеет ровно два корня, удовлетворяющих заданному неравенству.

Можно найти и сами корни $x$:

• $ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} $
• $ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow 3x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} $

Оба корня $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{3} $ принадлежат интервалу $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) $.

Ответ: 2.

234. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{9\pi x}{4} = 0;$

2) $\sin(7\pi \sqrt{x}) = 1;$

3) $\sin \frac{3\pi x^2}{4} = -1.$

1) Дано уравнение $ \sin\frac{9\pi x}{4} = 0 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $ \sin(A) = 0 $ имеет вид $ A = \pi n $, где $ n $ — любое целое число.
В данном случае $ A = \frac{9\pi x}{4} $, поэтому получаем:
$ \frac{9\pi x}{4} = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Для нахождения $ x $ разделим обе части уравнения на $ \pi $:
$ \frac{9x}{4} = n $
Теперь умножим обе части на 4 и разделим на 9:
$ 9x = 4n $
$ x = \frac{4n}{9} $
Ответ: $ x = \frac{4n}{9}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение $ \sin(7\pi\sqrt{x}) = 1 $.
Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ x \ge 0 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $ \sin(A) = 1 $ имеет вид $ A = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.
В данном случае $ A = 7\pi\sqrt{x} $, поэтому:
$ 7\pi\sqrt{x} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на $ \pi $:
$ 7\sqrt{x} = \frac{1}{2} + 2k $
Выразим $ \sqrt{x} $:
$ \sqrt{x} = \frac{\frac{1}{2} + 2k}{7} = \frac{1+4k}{14} $
Поскольку арифметический квадратный корень $ \sqrt{x} $ по определению не может быть отрицательным, должно выполняться неравенство $ \sqrt{x} \ge 0 $.
$ \frac{1+4k}{14} \ge 0 $
$ 1+4k \ge 0 $
$ 4k \ge -1 $
$ k \ge -\frac{1}{4} $
Так как $ k $ — целое число, то оно может принимать значения $ 0, 1, 2, ... $
Чтобы найти $ x $, возведем обе части уравнения $ \sqrt{x} = \frac{1+4k}{14} $ в квадрат:
$ x = \left(\frac{1+4k}{14}\right)^2 = \frac{(1+4k)^2}{196} $
Ответ: $ x = \frac{(1+4k)^2}{196}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0 $.

3) Дано уравнение $ \sin\frac{3\pi x^2}{4} = -1 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение уравнения $ \sin(A) = -1 $ имеет вид $ A = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $ (или $ A = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $), где $ k $ — любое целое число. Воспользуемся второй формой записи.
В данном случае $ A = \frac{3\pi x^2}{4} $, поэтому:
$ \frac{3\pi x^2}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на $ \pi $:
$ \frac{3x^2}{4} = \frac{3}{2} + 2k $
Умножим обе части на 4:
$ 3x^2 = 6 + 8k $
Выразим $ x^2 $:
$ x^2 = \frac{6+8k}{3} $
Поскольку квадрат действительного числа $ x^2 $ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $ x^2 \ge 0 $.
$ \frac{6+8k}{3} \ge 0 $
$ 6+8k \ge 0 $
$ 8k \ge -6 $
$ k \ge -\frac{6}{8} \implies k \ge -\frac{3}{4} $
Так как $ k $ — целое число, оно может принимать значения $ 0, 1, 2, ... $
Теперь найдем $ x $, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
$ x = \pm\sqrt{\frac{6+8k}{3}} $
Ответ: $ x = \pm\sqrt{\frac{6+8k}{3}}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0 $.

235. При каких значениях a имеет решения уравнение:

1) $\sin x = 9 - a;$

2) $(a^2 - 9)\sin x = a - 3;$

3) $\sin x = 4a - a^2 - 5?$

1) Уравнение $\sin x = 9 - a$ имеет решения, когда значение выражения в правой части принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как это область значений функции синуса. Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le 9 - a \le 1$
Вычтем 9 из всех частей неравенства:
$-1 - 9 \le -a \le 1 - 9$
$-10 \le -a \le -8$
Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$10 \ge a \ge 8$
Это можно записать в виде:
$8 \le a \le 10$
Таким образом, уравнение имеет решения при $a \in [8; 10]$.
Ответ: $a \in [8; 10]$.

2) Рассмотрим уравнение $(a^2 - 9)\sin x = a - 3$. Возможны два случая.
Случай 1: Коэффициент при $\sin x$ не равен нулю, то есть $a^2 - 9 \ne 0$, что равносильно $a \ne 3$ и $a \ne -3$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a^2 - 9$:
$\sin x = \frac{a - 3}{a^2 - 9} = \frac{a - 3}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{1}{a + 3}$
Это уравнение имеет решения, если $-1 \le \frac{1}{a + 3} \le 1$.
Данное двойное неравенство эквивалентно неравенству $|\frac{1}{a+3}| \le 1$, что равносильно $|a+3| \ge 1$ (при условии $a+3 \ne 0$).
Раскроем модуль:
$a+3 \ge 1$ или $a+3 \le -1$
$a \ge -2$ или $a \le -4$
Таким образом, в этом случае решения существуют при $a \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$.
Случай 2: Коэффициент при $\sin x$ равен нулю, то есть $a^2 - 9 = 0$. Это происходит при $a = 3$ или $a = -3$.
- Если $a = 3$, уравнение принимает вид: $(3^2 - 9)\sin x = 3 - 3$, то есть $0 \cdot \sin x = 0$. Это верное равенство $0 = 0$ для любого значения $x$. Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет бесконечно много решений.
- Если $a = -3$, уравнение принимает вид: $((-3)^2 - 9)\sin x = -3 - 3$, то есть $0 \cdot \sin x = -6$. Равенство $0 = -6$ неверно, поэтому при $a = -3$ уравнение решений не имеет.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решения существуют для $a \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$. Заметим, что значение $a=3$ входит в промежуток $[-2; +\infty)$, а значение $a=-3$ не входит в полученное множество.
Ответ: $a \in (-\infty; -4] \cup [-2; +\infty)$.

3) Уравнение $\sin x = 4a - a^2 - 5$ имеет решения, если правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
$-1 \le 4a - a^2 - 5 \le 1$
Решим эту систему из двух неравенств:
1) $4a - a^2 - 5 \ge -1$
$-a^2 + 4a - 4 \ge 0$
$a^2 - 4a + 4 \le 0$
$(a - 2)^2 \le 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a-2)^2$ не может быть меньше нуля. Единственная возможность — это равенство нулю: $(a-2)^2 = 0$, откуда $a=2$.
2) $4a - a^2 - 5 \le 1$
$-a^2 + 4a - 6 \le 0$
$a^2 - 4a + 6 \ge 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $a^2 - 4a + 6$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен (равен 1), то квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 6$ положителен при любых значениях $a$. Таким образом, это неравенство выполняется для всех $a \in (-\infty; +\infty)$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $a=2$ и $a \in (-\infty; +\infty)$. Пересечением является $a=2$.
Ответ: $a = 2$.

236. Определите количество корней уравнения $ \sin 3x = a $ на промежутке $ \left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right] $ в зависимости от значения $a$.

Для определения количества корней уравнения $\sin(3x) = a$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{3}]$, введем замену переменной $t = 3x$.

Найдем, в каких пределах изменяется переменная $t$, если $x$ принадлежит заданному отрезку:

Нижняя граница: $3 \cdot (-\frac{\pi}{12}) = -\frac{\pi}{4}$.

Верхняя граница: $3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества корней уравнения $\sin(t) = a$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{4}, \pi]$.

Проанализируем поведение функции $y = \sin(t)$ на этом отрезке.

• Начальное значение в точке $t = -\frac{\pi}{4}$: $y(-\frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin(t)$ монотонно возрастает от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до своего максимального значения $y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $\sin(t)$ монотонно убывает от $1$ до $y(\pi) = \sin(\pi) = 0$.

Следовательно, область значений функции $y=\sin(t)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \pi]$ равна $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y=\sin(t)$ и горизонтальной прямой $y=a$. Рассматривая поведение функции, получаем следующие случаи в зависимости от значения $a$:

При $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$

В этом случае прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=\sin(t)$ на данном отрезке, так как значение $a$ находится вне области значений функции $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Ответ: 0 корней.

При $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup \{1\}$

Если $a = 1$, прямая $y=1$ касается графика в точке максимума $t=\frac{\pi}{2}$, что дает один корень.

Если $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, прямая $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает график в граничной точке $t=-\frac{\pi}{4}$, что дает один корень.

Если $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$, прямая $y=a$ пересекает график только один раз на участке возрастания $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.

Следовательно, во всех этих случаях уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

При $a \in [0, 1)$

Если $a=0$, прямая $y=0$ пересекает график в точках $t=0$ и $t=\pi$, что дает два корня.

Если $a \in (0, 1)$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках: один раз на участке возрастания $(0, \frac{\pi}{2})$ и один раз на участке убывания $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

Следовательно, во всех этих случаях уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

237. Решите графически уравнение $\sin x = -3x$.

Для графического решения уравнения $ \sin x = -3x $ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y_1 = \sin x $ и $ y_2 = -3x $. Решениями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, периодическая функция, область значений которой лежит в отрезке $ [-1, 1] $.

2. График функции $ y = -3x $ — это прямая линия, проходящая через начало координат (точку $ (0, 0) $) с угловым коэффициентом -3.

Построим эти графики. Уже при построении видно, что графики пересекаются в начале координат, в точке $ (0, 0) $. Проверим, подставив $ x = 0 $ в исходное уравнение:

$ \sin(0) = -3 \cdot 0 $

$ 0 = 0 $

Равенство верное, следовательно, $ x = 0 $ является корнем уравнения.

Чтобы доказать, что это единственный корень, рассмотрим уравнение с другой точки зрения. Перепишем его в виде $ \sin x + 3x = 0 $ и введем функцию $ f(x) = \sin x + 3x $. Нам нужно найти нули этой функции.

Найдем производную функции $ f(x) $:

$ f'(x) = (\sin x + 3x)' = \cos x + 3 $

Поскольку область значений функции косинуса $ \cos x $ — это отрезок $ [-1, 1] $, то наименьшее значение производной будет $ -1 + 3 = 2 $, а наибольшее $ 1 + 3 = 4 $. Таким образом, $ f'(x) $ всегда положительна ($ f'(x) > 0 $) для любого значения $ x $.

Это означает, что функция $ f(x) = \sin x + 3x $ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть равняться нулю) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли, что при $ x = 0 $ функция $ f(x) $ равна нулю, других корней у уравнения нет.

Следовательно, графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -3x $ пересекаются только в одной точке $ (0, 0) $.

Ответ: $x=0$.

238. Решите уравнение:

1) $\text{tg } 3x = 0;$

2) $\text{tg } \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1;$

3) $8\text{tg } \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0;$

4) $\text{ctg } 4x = -\sqrt{3};$

5) $\text{ctg } \left(\frac{\pi}{4} - 6x\right) = 0;$

6) $2\text{ctg } \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0.$

1) Решим уравнение $\operatorname{tg} 3x = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Аргумент тангенса равен $ \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
$ 3x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 3, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1$.
Общее решение уравнения $ \operatorname{tg} t = 1 $ имеет вид $ t = \operatorname{arctg}(1) + \pi k $, то есть $ t = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = \frac{\pi}{6} - 2x $.
$ \frac{\pi}{6} - 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ -2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi k $
$ -2x = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + \pi k $
$ -2x = \frac{\pi}{12} + \pi k $
$ x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0$.
Сначала выразим тангенс:
$ 8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 3 $
$ \operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{8} $
Теперь применим общую формулу для решения уравнения $ \operatorname{tg} t = a $: $ t = \operatorname{arctg}(a) + \pi k $.
$ 4x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ 4x = \frac{\pi}{4} + \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\operatorname{arctg}\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\operatorname{ctg} 4x = -\sqrt{3}$.
Общее решение уравнения $ \operatorname{ctg} t = a $ имеет вид $ t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k $.
Значение $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6} $.
$ 4x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 4, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 6x\right) = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Аргумент котангенса равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
$ \frac{\pi}{4} - 6x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ -6x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ -6x = \frac{2\pi - \pi}{4} + \pi k $
$ -6x = \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0$.
Сначала выразим котангенс:
$ 2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = 5 $
$ \operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{2} $
Теперь применим общую формулу для решения уравнения $ \operatorname{ctg} t = a $: $ t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k $.
$ 5x - \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ x $:
$ 5x = \frac{\pi}{3} + \operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.