Номер 231, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Решите уравнение:

1) $\sin 8x = 1$;

2) $\sin \frac{4x}{11} = 0$;

3) $\sin \left( 7x - \frac{\pi}{6} \right) = -1$;

4) $2\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) + 1 = 0$;

5) $\sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0$;

6) $5\sin(4x - 1) - 2 = 0$;

7) $\sin(11x + 3) = \frac{\pi}{2}$;

8) $\sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8}$.

1) $ \sin(8x) = 1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $ \sin(y) = 1 $ имеет решение $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ y = 8x $.

$ 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{8 \cdot 2} + \frac{2\pi n}{8} $

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin(\frac{4x}{11}) = 0 $

Это частный случай. Уравнение $ \sin(y) = 0 $ имеет решение $ y = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ y = \frac{4x}{11} $.

$ \frac{4x}{11} = \pi n $

Умножим обе части на 11 и разделим на 4, чтобы найти $ x $:

$ 4x = 11\pi n $

$ x = \frac{11\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{11\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

3) $ \sin(7x - \frac{\pi}{6}) = -1 $

Это частный случай. Уравнение $ \sin(y) = -1 $ имеет решение $ y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ y = 7x - \frac{\pi}{6} $.

$ 7x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Перенесем $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть:

$ 7x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ 7x = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ 7x = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n $

$ 7x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

Разделим обе части на 7:

$ x = -\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z} $

4) $ 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) + 1 = 0 $

Сначала выразим $ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) $:

$ 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = -1 $

$ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ дается формулой $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{1}{2} $, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

$ 3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n $

$ 3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 3x = -\frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

$ x = -\frac{\pi}{9} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{9} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

5) $ \sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0 $

Выразим $ \sin(4 - 9x) $:

$ 2\sin(4 - 9x) = -\sqrt{3} $

$ \sin(4 - 9x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем общую формулу решения $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

$ 4 - 9x = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n $

$ 4 - 9x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n $

Выразим $ x $:

$ -9x = -4 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n $

Разделим обе части на -9:

$ x = \frac{4}{9} - \frac{(-1)^{n+1}\pi}{27} - \frac{\pi n}{9} $

Можно переписать $ -(-1)^{n+1} $ как $ (-1)^1 \cdot (-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} $.

$ x = \frac{4}{9} + \frac{(-1)^{n+2}\pi}{27} - \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{4}{9} + \frac{(-1)^{n+2}\pi}{27} - \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z} $

6) $ 5\sin(4x - 1) - 2 = 0 $

Выразим $ \sin(4x - 1) $:

$ 5\sin(4x - 1) = 2 $

$ \sin(4x - 1) = \frac{2}{5} $

Используем общую формулу $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 4x - 1 = (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 4x = 1 + (-1)^n \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi n $

$ x = \frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

7) $ \sin(11x + 3) = \frac{\pi}{2} $

Область значений функции синус $ [-1, 1] $.

Оценим значение правой части уравнения: $ \pi \approx 3.14159 $, значит $ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57 $.

Так как $ 1.57 > 1 $, то значение $ \frac{\pi}{2} $ не входит в область значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

8) $ \sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8} $

Область значений функции синус $ [-1, 1] $.

Оценим значение правой части: $ \pi \approx 3.14159 $, значит $ -\frac{\pi}{8} \approx -\frac{3.14159}{8} \approx -0.3927 $.

Так как $ -1 \le -0.3927 \le 1 $, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 6x - 7 = (-1)^n \arcsin(-\frac{\pi}{8}) + \pi n $

Используя свойство арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, получаем:

$ 6x - 7 = (-1)^n (-\arcsin(\frac{\pi}{8})) + \pi n $

$ 6x - 7 = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi n $

Выразим $ x $:

$ 6x = 7 + (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi n $

$ x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{n+1}}{6} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{n+1}}{6} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $