Номер 229, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]$ в зависимости от значения $a$.

Для определения количества корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]$, проанализируем поведение и область значений функции $y=\cos x$ на данном отрезке.

Функция $\cos x$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$ возрастает от $\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ до $\cos(0)=1$.
На отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ функция $\cos x$ убывает от $\cos(0)=1$ до $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, область значений функции на всём промежутке $[-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{6}]$ составляет отрезок $[-\frac{1}{2}; 1]$.

Количество корней уравнения равно числу пересечений графика $y=\cos x$ с горизонтальной прямой $y=a$. Разобьем решение на случаи в зависимости от количества корней.

Уравнение не имеет корней
Если значение $a$ лежит вне области значений функции на данном промежутке, то есть при $a < -\frac{1}{2}$ или $a > 1$, прямая $y=a$ не пересекает график функции, и уравнение не имеет решений.
Ответ: при $a \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$ корней нет.

Уравнение имеет один корень
Уравнение имеет один корень в следующих случаях:
1) Если $a=1$. Прямая $y=1$ касается графика в его точке максимума $x=0$. Это единственный корень.
2) Если $-\frac{1}{2} \le a < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Прямая $y=a$ пересекает график только на участке возрастания $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$, так как на участке убывания $[0; \frac{\pi}{6}]$ все значения функции не меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. При $a=-\frac{1}{2}$ корень один: $x=-\frac{2\pi}{3}$.
Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $a \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup \{1\}$.
Ответ: при $a \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup \{1\}$ — один корень.

Уравнение имеет два корня
Уравнение имеет два корня, если прямая $y=a$ пересекает и участок возрастания, и участок убывания. Это происходит, когда значение $a$ принадлежит пересечению областей значений на этих участках (за исключением точки максимума), то есть когда $\frac{\sqrt{3}}{2} \le a < 1$.
При $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ корни $x=-\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{6}$.
При $\frac{\sqrt{3}}{2} < a < 1$ один корень лежит на интервале $(-\frac{2\pi}{3}, 0)$, а другой — на интервале $(0, \frac{\pi}{6})$.
Ответ: при $a \in [\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$ — два корня.