Номер 222, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha - 2\sin \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = 0,5;$

2) $\sin 4\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \cos 5\alpha = \sin 6\alpha \cos \alpha;$

3) $\sin^2 \alpha + \sin \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{4};$

4) $\cos^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = 1.$

1) Докажем тождество $sin\alpha - 2sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12})cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = 0,5$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму: $2sin(A)cos(B) = sin(A+B) + sin(A-B)$.

В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}$ и $B = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}$.

Найдем сумму и разность аргументов:

$A+B = (\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}) + (\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = \alpha$.

$A-B = (\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}) - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в формулу:

$2sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12})cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}) = sin(\alpha) + sin(-\frac{\pi}{6})$.

Используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$ и значение $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$sin(\alpha) + sin(-\frac{\pi}{6}) = sin(\alpha) - sin(\frac{\pi}{6}) = sin(\alpha) - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$sin\alpha - (sin(\alpha) - \frac{1}{2}) = sin\alpha - sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $sin4\alpha cos\alpha + sin2\alpha cos5\alpha = sin6\alpha cos\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу преобразования произведения в сумму $sin(A)cos(B) = \frac{1}{2}(sin(A+B) + sin(A-B))$.

Для первого слагаемого $sin4\alpha cos\alpha$:

$sin4\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}(sin(4\alpha+\alpha) + sin(4\alpha-\alpha)) = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin3\alpha)$.

Для второго слагаемого $sin2\alpha cos5\alpha$:

$sin2\alpha cos5\alpha = \frac{1}{2}(sin(2\alpha+5\alpha) + sin(2\alpha-5\alpha)) = \frac{1}{2}(sin7\alpha + sin(-3\alpha)) = \frac{1}{2}(sin7\alpha - sin3\alpha)$.

Теперь сложим полученные выражения:

$sin4\alpha cos\alpha + sin2\alpha cos5\alpha = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin3\alpha) + \frac{1}{2}(sin7\alpha - sin3\alpha) = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin3\alpha + sin7\alpha - sin3\alpha) = \frac{1}{2}(sin5\alpha + sin7\alpha)$.

Далее преобразуем полученную сумму синусов в произведение по формуле $sin(X)+sin(Y) = 2sin(\frac{X+Y}{2})cos(\frac{X-Y}{2})$.

$\frac{1}{2}(sin7\alpha + sin5\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 2sin(\frac{7\alpha+5\alpha}{2})cos(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}) = sin(\frac{12\alpha}{2})cos(\frac{2\alpha}{2}) = sin6\alpha cos\alpha$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $sin^2\alpha + sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть равенства. Рассмотрим произведение $sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$.

Воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:

$sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) = sin\frac{\pi}{6}cos\alpha - cos\frac{\pi}{6}sin\alpha = \frac{1}{2}cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha$.

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin\frac{\pi}{6}cos\alpha + cos\frac{\pi}{6}sin\alpha = \frac{1}{2}cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha$.

Перемножим эти выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = (\frac{1}{2}cos\alpha)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha)^2 = \frac{1}{4}cos^2\alpha - \frac{3}{4}sin^2\alpha$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$sin^2\alpha + \frac{1}{4}cos^2\alpha - \frac{3}{4}sin^2\alpha = (1 - \frac{3}{4})sin^2\alpha + \frac{1}{4}cos^2\alpha = \frac{1}{4}sin^2\alpha + \frac{1}{4}cos^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4}(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{4}(1) = \frac{1}{4}$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $cos^2\alpha + sin^2\beta + sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = 1$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся известной формулой произведения синусов: $sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta) = sin^2\alpha - sin^2\beta$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$cos^2\alpha + sin^2\beta + (sin^2\alpha - sin^2\beta) = cos^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\alpha - sin^2\beta$.

Упростим выражение, сократив $sin^2\beta$ и $-sin^2\beta$:

$cos^2\alpha + sin^2\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.